Главная / Образцы дипломных работ

Анализ неопределенности детерминистических моделей на основе аппроксимации гауссовскими процессами

Внимание: Акция! Курсовая работа, Реферат или Отчет по практике за 10 рублей!
Только в текущем месяце у Вас есть шанс получить курсовую работу, реферат или отчет по практике за 10 рублей по вашим требованиям и методичке!
Все, что необходимо - это закрепить заявку (внести аванс) за консультацию по написанию предстоящей дипломной работе, ВКР или магистерской диссертации.
Нет ничего страшного, если дипломная работа, магистерская диссертация или диплом ВКР будет защищаться не в этом году.
Вы можете оформить заявку в рамках акции уже сегодня и как только получите задание на дипломную работу, сообщить нам об этом. Оплаченная сумма будет заморожена на необходимый вам период.
В бланке заказа в поле "Дополнительная информация" следует указать "Курсовая, реферат или отчет за 10 рублей"
Не упустите шанс сэкономить несколько тысяч рублей!
Подробности у специалистов нашей компании.

Код работы:	K007586
Тема:	Анализ неопределенности детерминистических моделей на основе аппроксимации гауссовскими процессами

Содержание

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

УДК 519.246

Кальметьев Рустем Шайнурович

Анализ неопределенности детерминистических моделей на основе аппроксимации гауссовскими процессами

Специальность 05.13.18 —

«Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Диссертация на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., профессор

Исламов Рустам Талгатович

Долгопрудный — 2016

Оглавление

Стр.

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава 1. Анализ неопределенности детерминистических моделей с

помощью аппроксимации гауссовскими процессами . . . . . .

1.1 Анализ неопределенности как часть оценки риска АЭС: сфера

применения и решаемые задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Постановка задачи анализа неопределенности

детерминистичеких моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Коэффициент стохастической аппроксимации . . . . . . . . . . . .

1.3.1

Коэффициент стохастической аппроксимации как оценка

близости для детерминистических моделей . . . . . . . . . .

1.3.2

Сравнение с методом анализа неопределенности на

основе преобразования фурье FFTBM . . . . . . . . . . . . .

1.3.3

Построение выборочной оценки коэффициента

стохастической аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

Байесовский подход, аппроксимация гауссовскими процессами . .

1.4.1

Аппроксимация гауссовскими процессами . . . . . . . . . .

1.4.2

Оптимизация гиперпараметров на основе данных

нескольких моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.3

Пример оптимизации гиперпараметров . . . . . . . . . . . .

Глава 2. Кросс-верификация и кластеризация детерминистических моделей на основе расчета коэффициентов стохастической

аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Численный эксперимент по сравнению «разрешающей

способности» коэффициентов стохастической аппроксимации . . . 25

2.1.1 Линейная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.2 Квадратичная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Кросс-верификация данных по ядерным реакциям . . . . . . . . . . 31

2.3 «Адаптированный» коэффициент стохастической аппроксимации . 38

2.3.1

Учет неопределенности в результатах эксперимента . . . . .

2.3.2

Примеры вычислений коэффициентов стохастической

аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава 3. Критерий согласия

для нестационарных временных рядов . . . . . . . . . . . . . .

3.1

Критерий согласия для нестационарных временных рядов . . . . .

3.1.1

Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2

Понятие квазистационарности . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.3

Критерий согласия для нестационарных временных рядов .

3.1.4

Численный эксперимент по кластеризации временных рядов

3.2 Моделирование нестационарного временного ряда с заданными

свойствами выборочного распределения . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1

Метод генерации нестационарных случайных траекторий . .

3.2.2

Генерация нестационарных траекторий по уравнению

Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

Выводы к третьей главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Список рисунков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Список таблиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Приложение А. Графики зависимостей доли правильных

угадываний от числа точек в выборках для

различных размерностей входных данных в случае

линейной зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Приложение Б. Графики зависимостей доли правильных

угадываний от числа точек в выборках для

различных размерностей входных данных в случае

квадратичной зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . .

Приложение В. Генерирование выборок и расчет коэффициентов

аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Приложение Г. Код для обработки данных расчета критерия

согласия нестационарных временных рядов . . . . . . 90

Введение

Данная работа посвящена разработке метода анализа неопределенности детерминистических моделей как части процедуры оценки риска для атомных электростанций с реакторами различных типов, основанном на построении ап-проксимации исследуемых моделей с помощью гауссовских процессов.

Актуальность работы. Тема безопасности объектов ядерной энергетики удостоена огромного внимания не только ученых и инженеров, но и широкой общественности. И если в обществе популярность этой темы переживает и взле-ты и падения, то в научной сфере ведутся непрекращающиеся работы, и никогда не утихают дискуссии по разного рода вопросам обеспечения безопасности.

Наиболее сильный резонанс в общественном поле за последнее время воз-ник в связи с крупной аварией на АЭС Фукусима-1 11 марта 2011 года [1–4]. И вопросы правильной оценки безопасности опасных объектов вновь стали темой, обсуждаемой не только специалистами.

безопасности эксплуатируемых и проектируемых атомных электростан-ций предъявляются строгие требования, установленные международными нор-мами. [5–12]

На сегодняшний момент существует более или менее устоявшаяся проце-дура оценки риска для атомных электростанций с реакторами различных типов, состоящая из вероятностного анализа безопасности [13; 14] и детерминистиче-ского анализа безопасности [15]. Процедура оценки рисков в обязательном по-рядка должна включать в себя этапы оценки неопределенностей используемых моделей, а также оценки значимости и чувствительности параметров этих моде-лей.

Тем не менее, не смотря на общую структуру, любое исследование про-водимое по анализу риска является уникальным в смысле используемых мате-матических моделей и используемых данных. Каждый проект по строительству АЭС подвергается тщательному исследованию, целью которого является долж-ным образом учесть все индивидуальные особенности проекта. Существующие математические модели постоянно дорабатываются, и разрабатываются новые все более точные модели.

Целью этого непрерывного процесса разработки и совершенствования мо-делей является повышения точности получаемых оценок безопасности. В этой связи естественно возникает вопрос о сравнительном анализе качества имею-щихся моделей.

Основной задачей анализа неопределенности детерминистических моде-лей является получение оценки меры неопределенности какой-либо конкретной математической модели, описывающей некоторый физический процесс, и срав-нение оценок меры неопределенности для различных подобных моделей, опи-сывающих один и тот же физический процесс. Таким образом анализ неопреде-ленности является инструментом для оценки качества используемых моделей и в целом результатов всего анализа безопасности, а также может быть использован для определения наиболее точных математических моделей.

Данная работа посвящена разработке метода анализа неопределенности де-терминистических моделей, основанном на построении аппроксимации исследу-емых моделей с помощью гауссовских процессов.

Параметрическое предположение о принадлежности исследуемых моделей

классу гауссовских процессов позволяет проводить анализ неопределенности в рамках байесовского подхода, что дает ряд преимуществ, в частности возмож-ность перехода от точечных оценок параметров к оценкам их распределений и доверительных интервалов.

Целью работы являлась разработка метода анализа неопределенности де-терминистических моделей как части анализа риска для атомных электростан-ций с реакторами различных типов на основе аппроксимации гауссовскими про-цессами.

Для достижения указанной цели в рамках данной диссертационной работы были поставлены и решены следующие задачи.

– Построение четкой математической формулировки задачи анализа неопределенности детерминистических моделей в контексте верифика-ции и кросс-верификации моделей по выборкам данных при проведении процедуры анализа риска АЭС.

– Разработка алгоритма аппроксимации детерминистических моделей гауссовскими процессами с общей функцией логарифмического прав-доподобия.

– Разработка метода расчета коэффициента стохастической аппроксима-ции на основе аппроксимирующих значений гауссовских процессов.

– Практическая реализация в виде программы для расчета коэффициен-та стохастической аппроксимации и кластеризации моделей на основе рассчитываемых оценок.

– Применение разработанной модели на практике.

Применение разработанной модели на практике проиллюстрировано на примере анализа неопределенности для библиотек ядерных данных для конкрет-ной ядерной реакции. Ядерные данные служат основой для многих расчетов при анализе рисков АЭС, поэтому анализ неопределенности для них является кри-тически важным моментом во всей процедуре анализа безопасности в целом.

Также в работе рассмотрены некоторые возможные модификации расче-та коэффициента стохастической аппроксимации, обладающие рядом полезных свойств.

Рассмотрена задача кластеризации временных рядов на основе определяе-мого нестационарного критерия согласия временных рядов и задача моделиро-вания случайного временного ряда с заданными свойствами выборочного рас-пределения.

Основные положения, выносимые на защиту:

– метод расчета коэффициента стохастической аппроксимации для детер-министических моделей на основе аппроксимирующих значений гаус-совских процессов с общей функцией логарифмического правдоподобия;

– численный алгоритм кластеризации детерминистических моделей на ос-нове расчета коэффициентов стохастической аппроксимации;

– алгоритм кластеризации временных рядов на основе определяемого нестационарного критерия согласия временных рядов с использовани-ем моделирования случайного временного ряда с заданными свойствами выборочного распределения.

Научная новизна: Метод расчета коэффициента стохастической аппрок-симации на основе аппроксимации гауссовскими процессами является модифи-кацией алгоритма описанного в [16]. Модель аппроксимации нескольких детер-министических моделей гауссовскими процессами с общей функцией логариф-мического правдоподобия является новой. Нестационарный критерий согласия временных рядов является новым и продолжает идеи описанные в [17]. Модель

генерации нестационарного временного ряда с заданными свойствами выбороч-ного распределения является новой, и разработана в соавторстве с Орловым Ю.Н. и Босовым А.Д.

Методы исследования: В работе использовались методы теории вероятно-стей, случайных процессов, имитационного моделирования, численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обоснованность и достоверность результатов следует из использования строгих и проверенных методов исследования. Также достоверность подтвер-ждается имитационным моделированием и сопоставлением результатов с суще-ствующими и уже хорошо изученными моделями.

Практическая значимость: Разработанные математические модели и ме-тоды позволяют проводить анализ неопределенности детерминистических мо-делей в рамках процедуры анализа риска для атомных электростанций. С помо-щью предложенной модели аппроксимации гауссовскими процессами можно с строить оценки доверительных интервалов для коэффициентов стохастической аппроксимации.

Результаты работы использованы в рамках исследований по грантам РФФИ:

– 16-07-00089 «Разработка моделей, алгоритмов и программного комплек-са для решения задач оценки безопасности и риска при проектировании и эксплуатации атомных электростанций»

– 16-07-00098 «Исследование и разработка математических моделей, ме-тодов и алгоритмов по оценке финансовых рисков в условиях неопреде-ленности параметров»

– 14-07-31288 «Разработка интегрированной системы информационной поддержки управления кризисной ситуацией на базе формальной онто-логии»

– 11-01-09233 «Участие в 4 ежегодной международной конференции

MEDIAS2011»

Также результаты работы использованы в работе ««Разработка рекоменда-ций по проведению риск-информированного анализа уязвимости и оценки эф-фективности систем физической защиты ядерно-опасных объектов»» реализуе-мой по договору No 03-11, рег. No 2011/4.1.2.2.11.14/45075 между АНО МЦЯБ и ОАО «Концерн Росэнергоатом».

Апробация работы: Результаты исследования докладывались на следую-щих конференциях и семинарах:

Р.T. Исламов, Р.Ш. Кальметьев, П.С. Новиков, А.А. Деревянкин, М.А. Берберова, А.В. Голубков, «Разработка методики оценки показателей риска АЭС», Научная сессии НИЯУ МИФИ-2010, г.Обнинск.

Р.Ш. Кальметьев, «Методы прогнозирования временных рядов», Меж-дународная научная конференция MEDIAS2011, Кипр, г. Лимассол.

Р.Т.Исламов, И.В.Жуков, М.А.Берберова, Р.Ш.Кальметьев, Д.А.Ильин, «Оценка риска для АЭС с реакторами различного типа», Ситуационные центры и системы виртуального окружения для комплексной безопас-ности и антитеррористической защищенности, ВНИИАЭС.

Р.Ш. Кальметьев, «Анализ неопределенности детерминистических мо-делей», Международная научная конференция MEDIAS2013, Кипр, г. Лимассол.

«Многомерная аппроксимация детерминистических моделей при анали-зе неопределенности», Международная научная конференция "Ситуаци-онные центры и информационно-аналитические системы класса 4i для задач мониторинга и безопасности SC-IAS4i-VRTerro2013"

Р.Ш. Кальметьев, «Кластеризация математических моделей при анализе неопределенности», Международная научная конференция MEDIAS2015, Кипр, г. Лимассол.

Р.Ш. Кальметьев, «Анализ неопределенности детерминистических мо-делей на основе аппроксимации гауссовскими полями», семинар ИПМ им. Келдыша РАН, 2015.

Р.Ш. Кальметьев, «Анализ неопределенности детерминистических мо-делей на основе аппроксимации гауссовскими полями», Международная

научная конференция MEDIAS2015, Кипр, г. Лимассол.

Личный вклад автора заключается в разработке модели аппроксимации нескольких детерминистических моделей гауссовскими процессами с общей функцией логарифмического правдоподобия и алгоритма расчета коэффициен-та стохастической аппроксимации на основе данной модели, разработка метода кластеризации нестационарных временных рядов, также автор внес существен-ный вклад в разработку модели генерации нестационарного временного ряда с заданными свойствами выборочного распределения.

По теме исследования опубликовано 10 работ, в том числе 5 из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ:

Кальметьев, Р.Ш. Анализ неопределенности детерминистических моде-лей с помощью аппроксимации гауссовскими процессами / Р.Ш. Каль-метьев [и др.] // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2016

Кальметьев, Р.Ш. Моделирование нестационарного временного ряда с заданными свойствами выборочного распределения / Р.Ш. Кальметьев [и др.] // Матем. моделирование, т. 26, № 3. – 2014. – С. 97-107.

Кальметьев, Р.Ш. Оценка риска для атомных электростанций с реакто-рами типа РБМК и ВВЭР / Р.Ш. Кальметьев [и др.] // Труды МФТИ, т. 6, № 1. – 2014. – С. 146-153.

Кальметьев, Р.Ш. Оценка риска для АЭС с реакторами типа РБМК / Р.Ш. Кальметьев [и др.] // Ядерная энергетика. Известия высших учебных заведений. – 2011. - № 3. - С. 56-62.

Кальметьев, Р.Ш. Анализ значимости и чувствительности результатов вероятностного анализа безопасности АЭС / Р.Ш. Кальметьев [и др.] // Труды МФТИ, т. 4, № 3. – 2012. – С. 205-210.

Кальметьев, Р.Ш. Зависимость коэффициента стохастической аппрок-симации (SAR) от метода построения аппроксимаций детерминистиче-ских моделей / Р.Ш. Кальметьев // Resilience2014: труды Международ-ной научной конференции. – Протвино-Москва: Изд. ИФТИ, 2015 - С. 45-50.

Кальметьев, Р.Ш. Анализ безопасности физической защиты потенциаль-но опасных объектов / Р.Ш. Кальметьев [и др.] // MEDIAS- 2011: труды Международной научной конференции. – Протвино- Москва: Изд. ИФ-ТИ, 2011 - С. 114-134.

Кальметьев, Р.Ш. Оценка риска для АЭС с реакторами различного типа / Р.Ш. Кальметьев [и др.] // Ситуационные центры и информационно-аналитические системы класса 4i. SC-IAS4i- VRTerro2011: труды Меж-дународной научной конференции. – Протвино-Москва: Изд. ИФТИ, 2011. – С. 37-42.

Кальметьев, Р.Ш. Методы прогнозирования временных рядов / Р.Ш. Кальметьев // MEDIAS-2011: труды Международной научной конферен-ции. – Протвино-Москва: Изд. ИФТИ, 2011.

Кальметьев, Р.Ш. Разработка методики оценки показателей риска АЭС / Р.Ш. Кальметьев [и др.] // XI Международная конференция «Безопас-

ность АЭС и подготовка кадров – 2009»: тезисы докладов. – Обнинск, 2009. – С. 10-11.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и семи приложений.

Полный объём диссертации составляет 93 страницы с 35 рисунками и 0 таблицами. Список литературы содержит 76 наименований.

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформу-лированы цели и задачи, аргументирована научная новизна исследований, показа практическая значимость полученных результатов.

первой главе содержится описание процедуры анализа риска АЭС и задачи анализа неопределенности детерминистических моделей; формулирует-ся постановка задачи анализа неопределенности и строится модель оценки ко-эффициента стохастической аппроксимации на основе гауссовских процессов с общей функцией логарифмического правдоподобия.

Во второй главе описывается численный эксперимент по сравнению «раз-решающей способности» коэффициентов стохастической аппроксимации, рас-считанных различными способами; приводятся результаты исследования по кросс-верификации и кластеризации данных по ядерным реакциям ; а также разрабатываются модификации методов расчета коэффициентов стохастической аппроксимации.

третьей главе строится критерий согласия для нестационарных времен-ных рядов, разрабатываются алгоритмы для генерации и кластеризации времен-ных рядов с различными свойствами выборочного распределения.

заключении сформулированы основные результаты работы.

списке литературы приведены сведения о цитируемых источниках в порядке их встречаемости в тексте диссертации.

приложениях дополнительные графики по сравнению различных ме-тодов расчета коэффициентов стохастической аппроксимации и коды основных частей описываемых в работе численных алгоритмов с поясняющими коммен-тариями.

Глава 1. Анализ неопределенности детерминистических моделей с помощью аппроксимации гауссовскими процессами

1.1 Анализ неопределенности как часть оценки риска АЭС: сфера применения и решаемые задачи.

последнее время задачам анализа неопределенности математических мо-делей, используемых в различных расчетах при анализе безопасности объектов ядерной энергетики, придают все большее значение. Повышенное внимание к подобным задачам обусловлено, как практической необходимостью в оценке ка-чества получаемых с помощью этих моделей результатов, так и в связи с раз-витием математического аппарата статистических методов, методов построения аппроксимаций и ростом вычислительных мощностей.

Необходимость развития методик оценки анализа неопределенности ис-пользуемых расчетных кодов неоднократно подчеркивалась Международным агентством по атомной энергии (МАГАТЭ) [18–21].

Также в документах, публикуемых организациями по контролю над ради-ационной безопасностью в различных странах, как правило всегда указывается необходимость тщательного изучения различных источников неопределенности

расчетах и проведение всеобъемлющего анализа неопределенности получа-емых результатов. Например, в рекомендациях [22] Центра радиационной без-опасности Финляндии - государственного агентства, осуществляющего контроль над радиационной безопасностью, говорится о том, что все коды и модели ис-пользуемые для оценки безопасности должны быть верифицированы с помощью имеющихся экспериментальных данных и путем сравнения с ранее разработан-ными моделями.

Рисунок 1.1 — Структурная схема накопленных наработок по анализу безопасности (gnssn.iaea.org)

работе [23] предлагается следующая общая классификация задач, реша-емых при проведении анализа неопределенности:

1. Задачи анализа неопределенности детерминистических расчетов:

– Анализ неопределенности исходных данных(Deterministic input data uncertainty);

– Анализ неопределенности параметров модели(Deterministic model parameter uncertainty);

– Анализ неопределенности модели(Deterministic model uncertainty).

Задачи анализа неопределенности вероятностных расчетов:

– Анализ неопределенности исходных данных(Stochastic input data uncertainty)

– Анализ неопределенности параметров вероятностной моде-ли(Stochastic model parameter uncertainty);

– Анализ неопределенности вероятностной модели(Stochastic model uncertainty).

данной работе рассматриваются задачи анализа неопределенности де-терминистических моделей.

Представление о том, каким образом анализ неопределенности включается

работу по анализу безопасности объектов ядерной энергетики, можно полу-чить из схемы 1.1. Данная схема опубликована на сайте МАГАТЭ, в качестве иллюстрации накопленных наработок по анализу безопасности, которые необхо-димо включать в обучающие программы для подготовки специалистов в данной области.

Для детерминистических моделей, используемых в расчетах при анализе безопасности, вопросы анализа неопределенности встают в контексте сравнения результатов, получаемых с помощью различных моделей, а также при сравнении рассчитанных результатов с данными экспериментов [24; 25].

1.2 Постановка задачи анализа неопределенности детерминистичеких моделей

Под детерминистической моделью подразумевается функция

: ? , ? R , ? R , где – число входных параметров модели,

– число выходных параметров модели. Вид функции предполагается неизвестным, то есть детерминистическая модель рассматривается как «чер-ный ящик» и ее внутренние свойства не используются при решении задач неопределенности модели.

Постановку задачи неопределенности детерминистических моделей мож-

но сформулировать следующим образом. Пусть имеется набор детерминистиче-ских моделей { 1, 2, . . . , }, описывающих одно и то же физическое явление.

Необходимо построить оценку близости данных детерминистических моделей, причем сами зависимости 1, 2, . . . , предполагаются неизвестными, а оценка должна быть построена на основе имеющихся конечных выборок для каждой модели вида {( , )| = 1, . . . , }, где – число точек в выборке, – вектор входных параметров, – вектор выходных параметров.

Предполагается, что значение функций задано неточно: = ( ) + , ?

(0, 2), а множества точек, в которых известны значения, не совпадают для различных моделей.

1.3 Коэффициент стохастической аппроксимации

1.3.1 Коэффициент стохастической аппроксимации как оценка близости для детерминистических моделей

работе [16] в оценки близости для двух детерминистических моделей был предложен коэффициент стохастической аппроксимации следующего вида:

= (

1 ?

? 1? 2

)

(1.1)

+ ?

где 1? 2 , 1 , 2 – моменты второго порядка:

1? 2 = ?

( 1( ) ? 2

( ))2 P( ),

(1.2)

= ?

( 1( ))2 P( ),

(1.3)

approx

( 2( ))2 P( ),

(1.4)

и P( ) – некоторая вероятностная мера.

Вероятностная мера P( ) может выбираться различными способами, в частности в работе [26] предлагается использовать для этого ядерную оценку

плотности (метод Парзеновского окна) с ядром Бартлетта-Епанечникова, восста-новленную по доступным выборкам данных, также может использоваться неко-торое априорное распределение, задаваемое исходя из интересующей с практи-ческой точки зрения области пространства параметров моделей.

Значение коэффициента стохастической аппроксимации принадлежит от-резку [0,1]. Если значение близко к 1, то это означает, что соответствую-щие модели близки и неопределенность модели низка. Если ? 1, то это означает, что результаты эксперимента и соответствующая модель не близки, и неопределенность высока.

Моменты в формуле 1.1 оцениваются статистически с использованием имеющихся выборок данных.

случае когда наборы входных параметров, на которых известны значения различных моделей, не совпадают возникает необходимость строить аппрокси-мации рассматриваемых моделей для получения оценки второго момента в чис-лителе формулы (1.1).

работе [26] для построения приближений (аппроксимирующего отобра-жения) детерминистических моделей или данных экспериментов используется метод стохастической аппроксимации, являющийся частным случаем метода ап-проксимации Шепарда или метода взвешенных обратных расстояний [27]. Вы-бор данного метода аппроксимации обусловлен рядом полезных свойств полу-чаемой аппроксимирующей функции [26], таких как непрерывность, асимпто-тическое стремление к среднему значению, возможность расчета ограничения сверху для ошибки аппроксимации.

Необходимо заметить, что значение коэффициента стохастической аппрок-симации существенным образом зависит от способа построения аппроксимиру-ющих моделей.

Данная работа посвящена разработке байесовского подхода к построению аппроксимаций используемых моделей. Аппроксимация строится в предположе-нии о том, что аппроксимируемые модели могут приближенно рассматривать-ся как гауссовские процессы. Данный подход позволяет в части случаев улуч-шить «разрешающую способность» коэффициента стохастической аппроксима-ции (имеется в виду возможность отличить с помощью расчета данного коэффи-циента более точную модель от менее точной), а также построить доверительные множества для коэффициента стохастической аппроксимации.

1.3.2 Сравнение с методом анализа неопределенности на основе преобразования фурье FFTBM

Помимо метода стохастической аппроксимации для оценки неопределен-ности моделей существует множество других методов.

Например при оценке точности теплогидравлических расчетных кодов ча-сто используется метод анализа неопределенности на основе преобразования Фурье [28].

Данный метод основан на оценке расхождений между данными, получа-емыми из расчетной модели, и данными экспериментов в частотной области. FFTBM метод достаточно прост и удобен в использовании.

Применение методов стохастической аппроксимации и метода на основе преобразования Фурье для одних и тех же данных проведено в работе [29]. Как отмечено в статье, результаты, полученные различными методами, хорошо согласуются и дополняют друг друга, добавляя новую, полезную для исследова-телей, информацию к имеющимся данным.

1.3.3 Построение выборочной оценки коэффициента стохастической аппроксимации

Для расчета коэффициента стохастической аппроксимации необходимо на-личие метода оценки расстояния между моделями, понимаемыми как отображе-ния из пространства входных параметров в пространство целевых параметров

: ? , ? R , ? R , где – число входных параметров модели, а

– число выходных параметров модели, в норме 2, при этом на пространство параметров может быть наложена мера P( ) отличная от равномерной. В слу-чае если наборы значений входных параметров, для которых известны значения рассматриваемых детерминистических моделей, совпадают, то эта оценка может быть построена как выборочное среднее по выборке доступных значений:

1? 2 =

(1.5)

( 1 ? 2)2

случае нормированного пространства параметров с мерой P( ) слагае-мые в формуле 1.5 необходимо брать с соответствующими весами.

Но в общем случае наборы значений входных параметров, для которых из-вестны значения рассматриваемых детерминистических моделей, не совпадают.

этом случае значение расстояния между моделями ( 1( ), 2( )) неизвестно ни в одной точке, и построение выборочной оценки SAR невозможно без по-строения аппроксимаций рассматриваемых детерминистических моделей.

1.4 Байесовский подход, аппроксимация гауссовскими процессами

1.4.1 Аппроксимация гауссовскими процессами

Широко применяемый сегодня метод восстановления регрессии гауссов-скими процессами [30–33] является методом построения вероятностной меры заданной на пространстве функций, при этом используется предположение, что восстанавливаемая функция принадлежит классу гауссовских случайных про-цессов [30].

Краткое введение в тему использования гауссовских процессов для различ-ных задач аппроксимации можно найти в книге [34]. Более развернутое описание дается в [30–33; 35–37].

Определение. Гауссовским процессом ( ) называется случайный процесс, чьи конечномерные распределения гауссовские.

Регрессия неизвестной функции в классе гауссовких процессов задается следующим образом:

? (

) ? (

( )

(

))

(1.6)

, , ?

,где

( ) = E ( ),

( , ?) = E [( ( ) ? ( ))( ( ?) ? ( ?))] .

Для восстановления регрессионной зависимости делается параметриче-ское предположение о виде функций ( ) и ( , ?).

Так как регрессия строится в классе гауссовских процессов, то совместное распределение известных значений функции и значений функции в интересую-щих точках будет нормальным:

[

]

? ( 0, [

( (

), )

( , *

)] )

(1.7)

, + 2

( , )

* *

После выбора вида корреляционной функции ( , ?) решение задачи ре-грессии можно записать в явном виде:

(1.8)

*| , , * ? ( *, ( *))

= ( *, ) [ ( , ) + 2 ] ?1

( , *)

( *) = ( *, *) ? ( *, ) [ ( , ) + ] ?

Выбор корреляционной функции является ключевым шагом в алгоритме восстановления регресси с помощью гауссовских полей [38–44]. Выбор корре-ляционной функции происходит следующим образом. Выбирается некоторое до-статочно обширное параметрическое семейство корреляционных функций, на-пример:

( , ) = 2 (?

( ? )( )?2( ? )

(1.9)

Для определения оптимальных значений гиперпараметров 2 и суще-ствует несколько общепринятых методик: метод максимального правдоподо-бия, кросс-валидация, leave-one-out как частный случай кросс-валидации. При этом как правило численно решается соотвествующая оптимизационная зада-ча [45–48].

При решении задач анализа неопределенности нет необходимости макси-мально точно строить регрессионную модель рассматриваемых детерминисти-ческих моделей, непосредственной целью является построение регрессии для расстояния между моделями ( 1( ), 2( )). Основная сложность состоит в том, что восстановление зависимости ( 1( ), 2( )) нельзя свести к решению класси-ческой задачи регрессии, так как значения ( 1( ), 2( )) неизвестны, а доступны лишь значения 1( ) и 2( ) на разных наборах точек.

В случае если 1( ) и 2( ) принадлежат классу гауссовских процессов, то 1( )? 2( ) тоже принадлежит этому классу. Тогда для 1( )? 2( ) можно явно выписать функцию правдоподобия при известных значениях гиперпараметров. При этом из общих соображений логичным видится взять для аппроксимации 1( ) и 2( ) одни и те же значения некоторых гиперпараметров, так как эти детерминистические модели описывают одно и то же физическое явление.

1.4.2 Оптимизация гиперпараметров на основе данных нескольких моделей

Оптимизация гиперпараметров проводится на основе всех имеющихся вы-борок для различных детерминистических моделей. Данный подход подход поз-воляет с большей точностью оценивать оптимальные значения гиперпараметров. Также при данном подходе все аппроксимирующие модели строятся при помо-щи ковариационных матриц с одинаковыми свойствами, определяемыми общи-ми значениями гиперпараметров.

Пусть даны две выборки значений ( 1, 1){( , )| = 1, . . . , 1} и ( 2, 2) = {( , )| = 1, . . . , 2}, где 1 – число точек в первой выборке, 2 – число точек во второй выборке, – вектор входных параметров, – вектор выходных параметров.

Предполагается следующая модель генерации данных:

( ) + , ? (0, 12)

(1.10)

2( ) + , ? (0, 22)

1 и 2 - являются реализациями гауссовских процессов с одинаковыми ковариационными функциями:

( , ) = 2 (?

( ? )( )?2( ? )

(1.11)

Тогда функция правдоподобия записывается следующим образом:

log ( 1, 2| 1, 2) = ?

( 1) ( 1

+ 12

) 1

? log | 1 + 12

| ?

log 2 (1?.12)

(

)

( 2

+ 2

)

? log | 2 + 2

| ?

lo.......................

Для получения полной версии работы нажмите на кнопку "Узнать цену"

Узнать цену

Каталог работ

Похожие работы: