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Идентификация множеств с помощью поверхностей второго порядка
| Код работы: | K006827 |
| Тема: | Идентификация множеств с помощью поверхностей второго порядка |
Содержание
?????-???????????? ??????????????? ???????????
????????? ?????????? ??????????-????????? ??????????
??????? ?????????????? ?????? ????????????? ?????? ??????????
??????
???????
??????????
????????????? ????????
? ??????? ???????????? ??????? ???????
????????? ????????,
?????? ???.-???. ????,
????????? ???????? ?.?.
??????? ????????????
?????? ???.-???. ????,
????????? ???????? ?.?.
????????,
???????? ???.-???. ????,
?????? ??????? ?.?.
?????-?????????
2011
??????????
?????? ???????? ???????????
3
????????
4
1
???????????? ??????????? F1 ? ?????? ????????? f
5
2
?????? ??????????? ? ?? ??????? ????????
20
??????????
24
??????????
28
2
?????? ???????? ???????????, ???????? ? ??????
? ??????? ????????: ??? ???? ,
? ??????? ?????????????: ?????????? ,
? ??????? ??????????: ?? : : : ??????? : : : ,
x ? ? ??????? x ??????????? ?,
x ??? ??????? x ?? ??????????? ?,
Rn n ?????? ????????? ????????????
? ?????? ?????????,
A ? B (A ? B) ??????????? (???????????) ???????? A ? B,
A \ B ???????? ???????? A ? B,
A ? B ????????? A ?????????? ? ????????? B,
co A ???????? ???????? ????????? A (?????????? ???????? ?????-????, ?????????? A),
Sr(x) ????? ? ??????? ? ????? x ??????? r (Sr(x) = {y | ?y ? x? = x})
? 0 ???????? ? 0, > 0,
|A| ???????? ????????? A,
[a; b] ???????????? ???????? a ? b,
•
A B
?????????? ??????????? A ? B.
3
????????
????? ?? ????? ?????? ????????????? ? ??????????? ???????? ????????? ???-???? ? ?????? ?? ???? ????????, ?????? ???????? ??????? ????????, ????-??????? ? ???? ? ??????? ?????????. ???? ?????? ??????????????? n ????-???????, ?? ?????? ???????? ? ?????????? ???????????? Rn ?? ??? ??????-??????; ??? ?????? ?????????? ??????? ?????????????, ? ???????, ?????-??? ?????????? ???????????? ?? ??? ????? - ????????????????? ????????. ????? ?????????????????? ??????? ???????????? ?? ?????? ????????????? ??? ????????? ??? ?????, ?? ? ?????????? ??????????????? ? ??????? ???? ????????, ??????? ?????? ????? ?????????? ??????. ????????? ???? ??-??? ??????? (????????????? ? ??????? ?????????????? etc.) ??????????? ? ?????? ?.?. ????????? [1].
??????? ??????? ?????? ????????????? ???????? ?????? ?????????? ???? ???????? ??????. ??????, ???? ??? ????????? A = {ai|i ? I = 1; n1} ?
= {bj |j ? J; J = 1; n2}, A; B ? Rn, A ? B = ? ? ????????? ????? ????? ????? Sr(x), ????? ????????????????? ???????:
???? c ? co Sr(x), ?? ???????, ??? c ? A; ???? c ?= co Sr(x), ?? ???????, ??? c ? B:
????????? ????????? A ? B ????????? ? ???????????? ?????? ???????. ??? ?????? ???????????? ???? ???????? ????????? ???????????. ?????-??? ???????????? ???????? ??????????, ??????? ???????????? ?????? ???? (x; r) ????? ?????????? ??????? ???????????? ?????
F (x; r) = |{i ? I : ?ai ? x? > r}| + |{j ? J : ?bj ? x? ? r}|;
??? ??????????, ?????? ????????????? ?? ? ?????????? ??????? ??????-?????? ?????
F (x; r) = max{|{i : ?ai ? x? > r}|; |{j : ?bj ? x? ? r}|}:
????? ??????????? ???????? ????????????. ?????? ?????????? ??????-?? ???????? ???????????? ???????? ????????? ??-?? ????, ??? ????? ????-
4
??????? ???? ?? ??????????. ??????? ??? ???????? ??????? ?????? ?????? ??????????? ???????????? ??????????? ?????? ?????? ??????????? ??? ??????????? ???????????? ???????????. ??????????? ?????????? ?????? ????? ???????, ????? ?) ?? ??? ????????????? ? ????????? ? 0 ? ??? ???-???, ????? ??? ????? ???????????????? ?????????; ?) ?? ??? ?????????? ? ??????? ?????????? ???????? (? ????? ?????? ?????? ????????) ???????-??????? ??????????. ????? ????? ????????????? ??????????? ????
?
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F1(x; r) =
1(ai; x; r) +
2(bj ; x; r);
i?I
?
j?J
?
F2(x; r) = maxf
1(ai; x; r);
2(bj ; x; r)g;
i?I
j?J
???
1(c; x; r) = maxf 0; f(c; x; r)g;
2(c; x; r) = maxf 0; f(c; x; r)g:
??????? f ????? ?????????? ????????? ???????. ????? ?????????? ????-??????? ??????? ???????? ??? ???? ????????? ??????? f.
???????????? ??????????? F1 ? ?????? ????????? f
1.f(c; x; r) = r2 (c x)2.
?????? ???????????
I? = f i 2 I j f(ai; x; r) < 0g;
I0 = f i 2 I j f(ai; x; r) = 0g;
I+ = f i 2 I j f(ai; x; r) > 0g;
J+ = f j 2 J j f(bj ; x; r) > 0g;
J0 = f j 2 J j f(bj ; x; r) = 0g;
J? = f j 2 J j f(bj ; x; r) < 0g:
??????? 1. ?????????? ??????? ???????????
? ?
F1(x; r) = maxf 0; (ai x)2 r2g + maxf 0; r2 (bj x)2g:
i?I j?J
5
.
??????????????. ?????????? ????????? ?? ??????????? ???????????? n.
????? ????????. n = 1. ???????? ?????????.
? inf F1(x; r) ? 0 ? ?(xk; rk) : F1(xk; rk) ? inf F1(x; r):
?????????????????? (xk; rk) ???????????? (? ????????? ?????? ?? ????-???? ?? ?? ??? ??????????, ?? ??????? ??????? ??????????? ?? ?????? ???-???? ????????).
???? xk ????????????, ?? ? rk ???????????? (????? ?? ?????? ????????? ?????????? ? +?). ???? rk ????????????, ?? ? xk ???????????? (????? ?? ?????? ????????? ?????????? ? +?). ??????? xk ? rk ????????????.
???????? I (xk; rk); J+(xk; rk) ???????? ????? ????????? (?? ????? 2jIj+jJj), ??????? ???? ?? ??? ?????? ?? ??? ????? ???????? ??????????? ??????????-???????????. ????? ??? (xk; rk) ????? ?????????? ??? ?????????????????????.
??
?
F1(xk; rk) = (ai ? xk)2 ? rk2 +
rk2 ? (bj ? xk)2:
i2 I
j2 J+
????????, ?????? ????? ??? ????? A ? B (?.?. I = I; J+ = J). ? ????
??????
?
?
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F1(xk; rk) = (ai ? xk)2 ? rk2 =
(ai ?
+
? xk)2 ? rk2 = (ai ?
)2+
a
a
a
i2 I
i2 I
i2 I
?
+|I|((xk ? a)2 ? rk2) = (ai ? a)2 + |I|(xk ? a ? rk)(xk + rk ? a):
i2 I
???? xk ? +?, ?? xk + rk ? +?; ??????? ????? ???????? ?? (xk; rk) ????? ?????????????????????, ??? xk ? a ? rk ? 0 ? xk ? rk ? a. ??? ??????? k ??? ai > a ????? ?????? ?????. ????? ????? ??? ???? ? ??????, ???? |I| = 1 ? a = a1. ?? ? ???? ?????? ??????? F1 ????? 0 ? ??????????? ?? ????? ???????? ???????, ??????????? ????? a.
?????????? ???????? ???????????? ? ??????, ????? xk ? ??.
??????? ?????? ????? ???? ???? ???? ????? c1.
6
????????, ??? ??? ????? ??? ????? ( I? = ?; J+ = ?). ? ???? ??????
?
?
F1(xk; rk) = (rk2 (bj xk)2) = (rk2 (bj
+
xk)2) =
b
b
j?J
j?J
?
?
=(rk2 (bj
)2 (xk
)2) = jJj(rk2 (xk
)2)
(bj
)2 =
b
b
b
b
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j?J
?
(bj
)2:
= jJj(rk + xk b)(rk xk + b)
b
j?J
???? xk ! +1 , ?? xk + rk b !
+1 ; ???????, ??? ??????????? ????????,
????? ???????, ??? rk xk + b !
0 , xk rk !
b. ??? ??????? k ??? bj < b
????? ??? ?????. ????? ????? ??? ???? ? ??????, ???? jJj = 1 ? b = b1. ??, ????????? ??? A ????? ?????? ?? b (????? ????? ai, ??????? ????? ?? b, ???? ??? ?????? ????????? ?? ??? ?????), ??? ????? ??????? ????????? ?
????????????. ?? ??
(
max ai + min ai
;
max ai min ai
)
, ?? ??????? F1 = 0.
????? ? ???????????
2
2
????? ???????? ? ??????, ?????
xk
! 1
.
??????? ??? ????? ???? ???? ???? ????? c2.
???? xk ! +1 , ?? ?????:
xk rk > c2;
c1 xk rk:
?????????????????? xk rk ??????????, ??????? ?? ??? ????? ???????? ?????????? (????? ????? ????????????? ??????????????? ????????????????-?????). xk rk ! y. ?????????
?
bj
i
ai
j
J+
I?
?
a
I? :=
?
; bJ+ :=
?
:
+
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jJ
j
?
?
I? ?xk)2rk2 +
rk2 (bj
J+ +
J+xk)2 =
F1(xk; rk) = (ai
I? +
b
b
a
a
j?J+
i?I?
? ?
(ai aI? )2(bj bJ+ )2 + jI?|(xk + rk aI? )(xk rk aI? )+
i?I? j?J+
7
+
J
+ (rk + xk
(ai
aI? )2
(bj
J+ )2
bJ+ )(rk
xk + bJ+ ) =
b
|
|
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i2 I
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?
j2 J+
I
J+
??
?
aI? (xk
rk
aI? )
b
J+ (rk
xk + bJ+ ) + (xk + rk)
?|
|
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|
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·
( I
(xk
rk
aI
? ) + J+
(rk
(1)
xk + bJ+ ))
· |
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I? ? |J+|
J+
y =
b
.
|
I
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J+
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a
??????
(y
I? )
(y
bJ+ ) = 0
a
|
+
|
|I | ? |J+|
|
|
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I
= J
? aI?
< bj
= bJ+ , ??????????, ????????? ai
|
?i ? I
?j ? J+ (bj
?????? ?????, ? ai
????? ?? ???).
inf F1(x; r) = lim F1(xk; rk) ?
(ai ?
I? )2 ?(bj ?
J+ )2?
b
a
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j2 J+
??
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I
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(y
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J+
J+ (
J+
y) = F1(?x; x?
y);
b
b
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??? x? ?????????? ?????????? ???????, ?????
2?x ? y ???? ?????? ?? ????
????? ?? A ? B.
?????????????, J+(?x; x? ? y) ? J+(xk; rk) (???? bj > y, ?? bj > xk ? rk);
I (?x; x? ? y) ? I (xk; rk)(???? ai < y, ?? ai < xk ? rk);
J+(xk; rk) ? J+(?x; x? ? y) ? J0(?x; x? ? y)(???? bj > xk ? rk, ?? bj ? y);
I (xk; rk) ? I (?x; x? ? y) ? I0(?x; x? ? y)(???? ai < xk ? rk, ?? ai ? y).
F1(?x; x? ? y) =
~
((ai ? x?)2 ? (?x ? y)2) +
+((?x ? y)2 ? (bj ? x?)2) =
~
i2 I
j2 J
??
?
=(ai ? x?)2 ? (?x ? y)2 +
j2 J
+
(?x ? y)2 ? (bj ? x?)2
i2 I
??
?
(???????? ?????????, ?????? ???? ? ?????? ?? I0 ? J0)
? ?
(ai ? aI? )2 ?(bj ? bJ+ )2 ? |I |aI? (y ? aI? ) ? |J+|bJ+ (bJ+ ? y)+
i2 I? j2 J+
+(2?x ? y)(|I |(y ? aI? ) + |J+|(bJ+ ? y)) ? lim F1(xk; rk):
???????? ????? ?????????? ?????????? (1). ????????, ??? inf F1(x; r) ??-
?????????, ??? ???????????? ?????? ?????????. ??? xk ? ?? ??????????
???????? ?? ?? ?????.
8
????? ???????? ???????.
???????????? ???????
??? ? ? ?????? n = 1, ??????????, ??? xk ? rk ????????????, ? ???????? ?? ??? ?????????????????????, ??? ??????? I? ? J+ ?????????.
?????? ???????????:
R := 1 + maxfk aik i 2 I; kbj k; j 2 Jg;
xk
R2 + kxkk2 rk2
lk :=
; dk :=
:
kxkk
2kxkk
????????, ?? dk ????? ???????? ????? ?????????????????????, ???
dk < R , (R + kxkk)2 < rk2 , R + kxkk < rk ) k xk cik k xkk + kcik
k xkk + R 1 < rk 1:
???? ?????? ??? ????? ????????? ?????? ?????. ?????:
?
?
rk2 k bj xkk2 =
(rk2 k bj
+
xkk2) =
F1(xk; rk) =
b
b
?
j?J
j?J
?
=(rk2 k bj
kbj
bk2 k b xkk2 = jJj(rk2 k xk bk2)
bk2 =
j?J
j?J
?
= jJj(rk + kxk bk)(rk k xk bk)
kbj
bk2;
j?J
rk + kxk bk ! +1 ) rk k xk bk ! 0:
??? ??????? k
?
?
1
1
jJj
rk " < kxk bk = k
(xk bj )k
kxk bj k <
(rk 1) = rk 1:
jJj
jJj
jJj
j?J
j?J
????????????. ??????? ?? dk ?????? ???????? ????? ????????????????-?????; ? ?????????? ??? xk ? rk ????? ???????? ??????????????????, ?? ??????? ????????? ??????????????? ?????.
????????, ?? dk ????? ???????? ????? ?????????????????????, ???
dk > R , (kxkk R)2 > rk2 , k xkk R > rk;
9
?xk ? ci? ? ?xk? ? ?ci? ? ?xk? ? (R ? 1) > rk + 1:
??? ????? ? ???? ?????? ????????? ??? ?????. ?????:
?
?
?
F1(xk; rk) = ((ai ? xk)2 ? rk2) =
((ai ?
+
? xk)2 ? rk2) = (ai ?
)2+
a
a
a
i2 I
?
i2 I
i2 I
+|I|((xk ?
)2 ? rk2) =(ai ?
)2 + |I|(?xk ?
? ? rk)(?xk ?
? + rk);
a
a
a
a
i2 I
rk + ?xk ?
? ? +? ? ?xk ?
? ? rk ? 0;
a
a
1
?
1
|I|
?
? = ?
ai? ?
?ai? ?
· (R ? 1) = R ? 1;
a
I
I
I
| |
| |
?
|
|
i2 I
i2 I
?xk ? a? ? ?xk? ? ?a? ? xk ? R + 1 > rk + 1:
??? ???????????? ????, ??? ?xk ? a? ? rk ? 0.
??????? ?? dk ?????? ???????? ????? ??????????????????. ???????? ??-
?????? ????? xk ? rk, ???????, ??? dk ? [?R; R].
?????????????????? dk ? lk ??????????, ??????? ?? ????? ?????????-
?????? ???????? ?? ??? ?????????????????????, ?????????? ? d ? l. ??????-??:
??
?
??
F1(xk; rk) = ((ai ?xk)2 ?rk2) +
(rk2 ?(bj ?xk2)) =
((ai; ai) ?2(ai; xk)+
i2 I
j2 J+
i2 I
+(xk; xk)+2?xk?dk ?R2??xk?2)+
?
(R2+?xk?2?2?xk?dk ?(bj ; bj )+2(bj ; xk)?
??
j2 J+
?
?
?(xk; xk)) = R2(|J+ ?|I |) +
?ai?2 ??bj ?2 + 2?xk?·( ((bj ; lk) ?dk)+
i2 I
j2 J+
j2 J+
?
(dk ? (ai; lk)));
i2 I?
??? ???? j ? J+ ?????
(bj ; lk) ? dk = 2(bj ; xk) ? R2 ? ?xk? + rk2 = 2?xk?
10
(bj ; bj ) ? R2 ? (xk ? bj ; xk ? bj ) + rk2 = (bj ; bj ) ? R2+
2?xk?
2?xk?
(rk + ?xk ? bj ?)(rk ? ?xk ? bj ?)
+
;
2?xk?
) ?
?
= 0 + lim
(rk + ?xk ? bj ?)(rk ? ?xk ? bj ?)
?
b
; l
d
lim (b
; l
)
d
( j
=
k!1
j
k
k
k!1
2?xk?
? 0 + lim
2?xk ? bj ? · 0
= 0:
2?xk?
??? ???? i ? I ?????
dk ? (ai; lk) =
R2 + ?xk?2 ? rk2 ? 2(ai; xk)
=
2?xk?
=
R2 ? (ai; ai) + (xk ? ai; xk ? ai) ? rk2
=
R2 ? (ai; ai)
+
2?xk?
2?xk?
+
(?xk ? ai? + rk)(?xk ? ai? + rk)
;
2?xk?
(?xk ? ai? + rk)(?xk ? ai? + rk)
d
a
; l
lim d
k ?
(a
; l
) = 0 + lim
?
2?xk?
? ( i
) =
k!1
i
k
2rk · 0
0 + lim 2?xk? = 0:
????????? F1(xk; rk) ?? ????? ?????????? ???????????, ??
?
k) ?
??
k)) = 0 ?
?
) ?
lim
; l
d
a
; l
; l
d
b
k) +
d
b
)+
k! +1
(( j
(
k ? ( i
(( j
j2 J+
i2 I
j2 J+
?
(d ? (ai; l)) = 0 ?
i2 I?
(bj ;
) =
?j ? J+;
l
d
? ?
I :
(ai; l) = d
i
11
????????? L := {x | (x; l) = d}. ??????????? L ????? n ? 1. ???????? ????????????? ?????????????, ???????? ????? (x ; r ), ???
max{?x ? ai?2 ? (r )2; 0} +
max{(r )2 ? ?x ? bj ?2; 0} =
i2 I;a 2 L
j2
J;b 2 L
?i
?j
=
min
x
?
a
?
2
?
r2;
0}
+
max{
r2
? ?
x
?
b
j ?
2;
0}
:
x2 L;r2 [0;+1 ]
max{?
i
J;b 2 L
i2 I;a 2 L
j2
?i
?j
???????, ??? (bj ; l) ? d
?j ? J. ? ????? ????, ??? j ? J+ ?? ????????,
??? (bj ;
l
) =
d
; ??? j ? J
? J0
) ?
?
(bj ; bj ) ? R2
b
; l
d
lim (b
; l
)
d
= lim
2?xk?
( j
=
k!1
j
k
k
k!1
+
(rk + ?xk ? bj ?)(rk ? ?xk ? bj ?)
lim
(rk + ?xk ? bj ?)(rk ? ?xk ? bj ?)
?
+
2?xk?
= 0+k!1
2?xk?
lim
(rk + ?xk ? bj ?) · 0
:
? k!1
2?xk?
= 0
?i ? I. ?????????????, ??? i ? I ?? ????????-
???????, ??? d ? (ai; l)
??, ???
d
= (ai;
l
); ??? i ? I+ ? I0
?
R2 ? (ai; ai)
+
d
a
; l
lim d
(a
; l
) = lim
? ( i
) =
k!1
k
i
k
k!1
2?xk?
+
(?xk ? ai? + rk)(?xk ? ai? ? rk)
lim
2rk · 0
= 0:
2?xk?
?????
2?xk?
? 0 + k!1
r 2 ? (x ? bj )2
(x ? ai)2 ? r 2
:= 1+max{ | d > (bj ; l)}?{ | (ai; l) > d}?{0}:
2(d ? (bj ; l))2((ai; l) ? d)
?
?????????? ???? (x + l; r 2 + 2) =: (x; r).
??? ???? j ? J+(x; r) ????? bj ????? ? L. ? ????? ????, ????? bj ?= L ? d > (bj ; d) ?
(x?bj )2 ?r2 = (x + l ?bj )2 ?r 2 ? 2 = (x ?bj )2 ?r 2 + 2 ((l; x )?(l; bj )) = = (x ? bj )2 ? r 2 + 2 (d ? (l; bj )) > (x ? bj )2 ? r 2 + r 2 ? (x ? bj )2 = 0:
12
??? ???? i ? I (x; r) ????? ai ????? ? L. ?????????????, ????? ai ?= L ? (ai; l) > d ?
r2 ? (x ? ai)2 = r 2 + 2 ? (x + l ? ai)2 = r 2 ? (x ? ai)2 + 2 (ai ? x ; l) =
r 2 ? (x ? ai)2 + 2 ((ai; l) ? d) > r 2 ? (x ? ai)2 + (x ? ai)2 ? r 2 = 0:
????? x ????????? ?????, - ?? ???????? ?? L ?
?
= max{r2 ? (xk ? k)2; 0}. ????? ??? ???? c ? L ?????
(x ? c)2 ? r2 ? (x ? + ? c)2 ? 2 ? (x ? )2 = 2(x ? ; ? c) + ( ? c)2 ? 2 =
?
= ( ? c)2 ? 2:
(2)
?????:
:=
?max{rk
? (xk ? k) ; 0}.
k ???????? xk ?? L, k
???? =
r2 ? (xk ? k)2, ?? ??????????? ???????????? ? ?????????.
????????? ?????
2
2
?
?
F1(xk; rk) =
max{0; (ai ? xk)2 ? rk2} +
max{0; rk2 ? (bj ? xk)2} =
i2 I
j2 J
? ?
= max{0; (ai ? xk)2 ? rk2} + max{0; rk2 ? (bj ? xk)2} ?
ai2 L bj 2 L
? ?
? max{0; (ai ? k)2 ? 2k} + max{0; 2k ? (bj ? k)2}:
ai2 L bj 2 L
????????? ??????????? ??????? ?? (2) ? ???? ?????, ???
rk2 ? (bj ? xk)2 = 2k ? (bj ? k)2;
k = 0:
????????, ???
F
x
; r
k) ?
min
; a
2
2
}+b?j2L
; 2
b
2
}) =
1
( k
2 L; 2 [0;+1 )(a?i2L
max{0 (
i ? ) ?
max{0
?( j ?
)
= a?i2L max{0; (ai ? x )2 ? r 2
} + b?j2L max{0; r 2 ? (bj ? x )2} =
= a?i2L max{0; (ai ?
)2 ?
2
} + b?j2L max{0;
2
? (bj ?
)2} =
x
r
r
x
13
?
?
=
maxf 0; (ai
)2
2g +
maxf 0;
2 (bj
)2g:
x
r
r
x
i?I
j?J
????????? ????????? ??????????? ???, ??? ??? ?????????, ????????????-??? ?????? ?? ?? L, ????? ????.
????? ???????, F1(xk; rk) F1(x; r). ??????
inf F1(x; r) = lim F1(xk; rk) = F1(x; r);
k??
?? ???? ??????? ???????????. ???????? ????????????.
???????????? ??????? ? ??????? ????????.
??????? ?????????????????? ???????
1 (??? c = ai) ?
2 (??? c = bj ),
????????? ??????? ?????????? ??????????????????, ??????????? ? [2]:
f
@ 1 = @ 2 = f 0n+1g:
???? ai 2 int co S;
0n+1g;
@
1 = [2(x ai)]; 2r];
???? ai
2= co S;
????
;
cof 0n+1; [2(x ai)]; 2r]g;
???? ai
2 S.
f
bj 2= S
0n+1g;
@
2 = [2(bj x)]; 2r];
???? bj 2 int co S;
??????
???? bj 2 S.
cof 0n+1; [2(bj x)]; 2r]g;
?
?
@
F1 =
[2(x ai)]; 2r] +
[2(bj x)]; 2r]+
?
i?I?
j?J+
?
+
cof 0n+1; [2(x ai)]; 2r]g +
cof 0n+1; [2(bj x)]; 2r]g =
i?I0
?
?
j?J0
?
= f 2[xjI?| ? xjJ+j
?
ai +
bj
+
i(x ai) +
j (bj x);
i?I?
j?J+
i?I0
j?J0
?
?
rjI?| + rjJ+j r
i + r
j ] j i; j
2 [0; 1]g;
i?I0
j?J0
@F1 = f 0n+1g:
14
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F1(x; ") = (?"2 + (ai ? x)2) +
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j2 J+
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(ai ? x)2 ?(bj ? x)2 + "2(|J+| ? |I |) = = F1(x; 0) + "2(|J+| ? |I |)
i2 I? j2 J+
????????? ....................... |
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