Пространства р-суммируемых функций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Тольяттинский государственный университет»

Институт Математики, физики и информационных технологий

Кафедра «Прикладная математика и информатика»



02.03.03. Математическое обеспечение и администрирование

информационных систем



КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине (учебному курсу)

«ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ АНАЛИЗА - 2»



на тему «Пространства р-суммируемых функций»




Студент	Д.О. Кузьмина


Руководитель	О.В. Лелонд












Оценка:	________________

Дата:	________________












Тольятти 2017

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования

«Тольяттинский государственный университет»

Институт математики, физики и информационных технологий


Кафедра «Прикладная математика и информатика»


УТВЕРЖДАЮ
Завкафедрой

_____________ __ А.В. Очеповский _________


«____»___________20___г.

ЗАДАНИЕ
на выполнение курсовой работы

Студент Кузьмина Дарья Олеговна 4 курс гр. МОб-1401.

1. Тема Пространства р-суммируемых функций

2. Срок сдачи студентом законченной курсовой работы _21 декабря 2017 ______________

3. Исходные данные к курсовой работе определение и свойства пространств Lp. Теоремы об общем виде функционалов на пространствах Lp________________________________

4. Содержание курсовой работы (перечень подлежащий разработке вопросов, разделов)

Пространства p-суммируемых функций и существенно ограниченных функций, их основные свойства. Общий вид линейных непрерывных функционалов на пространствах Lp,______________________________________________________________________

5. Ориентировочный перечень графического и иллюстративного материала

__презентация_________________________________________________________________

6. Рекомендуемые учебно-методические материалы:_Богачев В.И. Действительный и функциональный анализ: Университетский курс./ В. И. Богачев О. Г. Смолянов - М.:РХД,

2009. - 724 с. Босс. В. Лекции по математике. Том 5. Функциональный анализ. / В. Босс. - M.: КомКнига , 2005.- 216 с. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. / Б.З. Вулих. - M.: Наука, 1965. - 167 c._________________________________

7. Дата выдачи задания «25» сентября 2017 г.


Руководитель курсовой работы
___________________________
______О.В. Лелонд___________






Задание принял к исполнению
___________________________
______Д.О. Кузьмина_________







Содержание

Введение	3

Глава 1. Нормированные пространства.	4

1.1. Понятие нормированного пространства.	4

1.2. Пространства суммируемых функций	5

1.3. Интеграл Лебега – Стилтьеса.	8

Глава 2. Пространства суммируемых функций.	11

2.1. Основные понятия.	11

2.2. Связь между коэффициентами Фурье 2? - периодической функции и ее
нормой в Lp.	13

Заключение	16

Список используемых источников	17

Введение

Одним  из  ключевых  определений  функционального  анализа  можно

назвать понятие нормированного пространства. В двадцатых годах прошлого века Стефан Банах создал теорию нормированных пространств. В этой курсовой работе она используется для исследования пространств суммируемых функций и последовательностей с позиций функционального анализа.

     Объектом исследования курсовой работы являются пространства р-суммируемых функций.

     Предмет исследования - свойства пространств р-суммируемых функций.

     Цель данной курсовой работы: изучение свойств пространств р-суммируемых функций и последовательностей.

Курсовая работа состоит из введения, 2 глав и заключения.

     В 1 главе рассматриваются ключевые определения теории нормированных пространств.

     В 2 главе изучаются основные свойства пространств суммируемых функций.




























3

Глава 1. Нормированные пространства.

1.1. Понятие нормированного пространства.

    Определение. Линейное пространство - это непустое множество L, соответствующее следующим требованиям:

1. Для какой-либо пары элементов x, y ? L определяется элемент x ? y , называющийся их суммой, при этом:

? x ? y ? y ? x ;

? x ? ?y ? z? ? ?x ? y?? z ;


*	В L имеется элемент 0, что	x ? 0 ? x для всех	x ? L ;

*	Для всякого x ? L имеется такой элемент	??x?,?что?x???(?





x)





? 0 .



2. Для всякого числа ? и элемента x ? L задан элемент  ?x ? L , причем:

? ? (?x) ? (?? )x ;

? 1? x ? x ;

3. Дистрибутивными законами связываются друг с другом операции сложения и умножения:

? (? ? ? )x ? ?x ? ?x ;

? ? (x ? y) ? ?x ? ?y.

   Определение. Нормированным линейным пространством L называется линейное пространство, в котором определена неотрицательная функция ? , соответствует следующим условиям:

?  x???0???x???0?;

*???x??????? x для всякого x ? X	и всякого числа ? ;


?  x ? y??? x??? y для всяких x, y ? L .


Определение.	Оператор	-	отображение	f : X

линейные пространства.

Определение. Оператор	A : X ? Y	называется



? Y ,	где	X ,Y -	это



линейным,  если  для


всяких элементов x, y ? X и всяких чисел ? , ? ?R выполняется следующее равенство:
4


Lp , где
A(?x ? ?y) ? ?A(x) ? ?A( y) .

Определение. Положим X ,Y  - линейные нормированные пространства,

A : X ? Y  – линейный оператор, x0 ? X , Ax0  ? y0 ?Y .

Определение. Положим X ,Y  - линейные нормированные пространства,

A : X ? Y  – линейный оператор, x0 ? X , Ax0  ? y0 ?Y  .


Если из  lim



xn ? x0



? 0
следует
lim



Axn ? Ax0



? 0
, то линейный оператор






















n??









n??
































является непрерывным в точке x0 .

Определение. Если линейный оператор  A  непрерывен в любой точке

x0 ? X , то он является непрерывным .

Определение. Если ?M ? R	?x???X   Ax???M??? x , то линейный оператор

называется ограниченным.

     Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

     Определение. Минимальная из констант M таких, что  Ax???M??? x , называется нормой оператора А и является  A .

Также выполняется  Ax??? A??? x .

Верно утверждение: для всякого ограниченного линейного оператора

A	A ? sup Ax .

 x ?1

1.2. Пространства суммируемых функций.

     Пространство суммируемых функций можно назвать одним из наиболее значимых среди классов анализа нормированных пространств. Далее рассмотрению будут подвергаться исключительно данные нормированные пространства.

Определение. Положим  E  - некое фиксированное множество из  Rn .

Пространство	p ? 1, - нормированное пространство, его элементами






5

считаются функции f ( x) , измеримые и почти везде конечные на E , для которых выполняется следующее условие ? f (x) p dx ????.

E

     Все функции, равные между собой на E , совершенно не будут отличаться и будут являться одним и тем же элементом пространства Lp . К примеру, нулевой элемент в Lp – это комплекс всех функций, которые равны нулю почти везде.

     Сложение элементов в Lp и умножение их на числа задаются как стандартные сложение и умножение функций. Вернее, всякий элемент в Lp - это класс равносильных друг другу функций, и, чтобы стало возможным сложить два данных класса, необходимо взять в них по элементу, после чего суммой этих классов именуют класс, имеющий сумму выбранных элементов. Выбор элементов из данных классов ни коем образом не влияет на итоговый результат.

Определение.	Нормой	функции	f (x) ? Lp .	является	число

1
 f ???(??f?(x)?p?dx)?p???.?При этом выполняются следующие правила:

E

?  f ???0?и  f ???0???f?(x)???0?почти везде;

*





kf



?



k

?





f





;















































*




f ? g



?





f





?



g



.














































































1 правило следует из определения нормы и того, что ? f (x) p dx ????.

E

   2 правило - из свойства интеграла, где постоянный множитель разрешается выносить за знак интеграла.

3  правило  следует  из  неравенства  Минковского:  для  всяких  функций

f , g ? Lp

1	1	1
(? f (x) ? g (x) p dx) p  ? (? f (x) p dx) p  ? (? g(x) p dx) p .

E	E	E




6


Определение.
Функция

f ( x)




называется





ограниченной
почти

везде, если  имеется  неотрицательное  число M,  при  котором  почти  везде

выполняется неравенство


f (x)

? M .











































































Определение.
Пространство  L?



- это нормированное пространство,

элементами

которого
служат
почти
везде
ограниченные

функции
f ( x) .


Норма

f ( x )? L?  -

минимальная из констант,

которая удовлетворяет

неравенству

f (x)

? M .



































?





























































Для
f ( x )? L?  выполняется почти везде неравенство



f









f



? .










































































L
























































Через  L0 ( R)  обозначим линейное пространство измеримых функций,

которые заданы на R.
















































Среди  линейных  операторов,  которые




имеются  в  пространстве  Lp ,

проведем анализ следующего.








































Определение. Оператор T , который действует из пространства Lp (R1 ) (

1 ? p ??? ) в L0 ( R1 ) , - оператор слабого типа
p,p , если






















? M
? y ? 0



m?x ? R1 :

Tf

? y??
M


f




pp  ,

где
f (x) ? Lp (R1 ),   m -
мера



























































p














































































y






L





























множества, и оператор вида

p,p
, если
?M

Tf




Lp   ? M ?



f



Lp  .








































































По  определению  оператор  вида



( p, p)
считается  ограниченным,  что


равно его непрерывности.

Предложение 1. Всякий оператор типа ( p, p)  будет оператором слабого типа

( p, p) .













































Доказательство.













































Необходимо обосновать, что ? M  ? y ? 0 m?x ? R1 :

Tf


? y??
M






f



Lpp  .



























y p
































Применим неравенство Чебышева: m?x ? A : ?(x) ? c??
1
??(x)dx .


c





















A




































































Берем положительное число y .
По неравенству Чебышева

m?x ? R1 :

Tf

p  ? y p ??
1
?

Tf

p dx ?
1


Tf


p  . Но по условию



Tf




? M ?



f



.










































p





p





























y
R


y




































































































7



































Учтем конечное соотношение, получается
m?x ? R1 :

Tf

? y??
M p




f



p ,   что и
























y p










нужно было обосновать.


































1.3. Интеграл Лебега – Стилтьеса.

     Определение. Положим на R имеется монотонно неубывающая функция F , которая будет считаться непрерывной слева. Зададим меры всех сегментов, интервалов и полусегментов равенствами:

m(?, ? ) ? F (? ) ? F (? ? 0),

m[?, ? ] ? F (? ? 0) ? F (?),

m(?, ? ] ? F (? ? 0) ? F (? ? 0),

m[?, ? ) ? F (? ) ? F (?).

     Тогда функция m , которая всякому сегменту задает в соответствие меру этого сегмента, станет :

? принимать действительные неотрицательные значения;

? аддитивной, другими словами мера объединения есть сумма мер этих сегментов.

После   применения   обычной   процедуры   распространения   меры

получается мера на некой ? - алгебре.

     Определение. Меру ?F , которая получается при помощи данного построения, называется мерой Лебега - Стилтьеса, которая отвечает функции F , а сама функция F называется производящей функцией данной меры.

     Определение. Положим ?F - мера на R, которая создана монотонной функцией F . Для данной меры стандартным способом определяется класс суммируемых функций и задается понятие интеграла Лебега ? f (x)d?F (x) .
R

     Данный интеграл, который взят по мере ?F и отвечает производящей функции, называется интегралом Лебега - Стилтьеса и обозначается
? f (x)dF(x) .

R



8


Сейчас обоснуем факт, который применяется при интерполяционной теоремы.

Предложение 2.



Пусть f ? L1 (0,1)  и для t ? R1

?f (t) ? m?x ? (0,1) :

f (x)
~
(t) ? m?x ? (0,1) : f (x) ? t?. Тогда




? t? и ?f


1
?
~
(t) . Если
p







(1)  ? f (x)dx ??? ?td?f

f ? L (0,1) и 0 ? p ??? , то

0 ??

?1



p
??t p d?f (t) ? p ?
??t p ?1?f (t )dt .



f (x)

dx ???



















0




0
0


Доказательство.


доказательстве














(2)


Равенство (1) вытекает из определения интегралов Лебега и Лебега -

Стилтьеса:

































Если ?t(n)
??
, n ? 1,2,    - последовательность разбиений действительной оси:





ii


i ???
















nlim??? sup ?ti ?1
? ti    ?? ,






? t?k   ???? t?1
? t 0
? t1
???? tk


?
и



то
интегралы





(n)



(n)
(n)
(n)



(n)









?


(n)

(n)  ?
































????i ??






?






1
























?x ??0,1?: ti(n)  ? f (x) ? ti(?n1) ?,i ? 0,?1,?2,   ,

? fn (x)dx ,


где
fn (x) ? ti(n) ,
если

x ? Ei(n)  ?


0






















































1






























стремятся при n ??? к ?f(x)dx .






































0






























Но




































1








?



?
~


~




?
~















? fn (x)dx ? ?ti(n)


















при n ??? ,






? m?Ei(n) ???? ?ti(n) ? ??f ?ti(?n1) ?
???f
?ti(n) ??? ?td?f
(t)






0








i ???


i ???











??
















что и доказывает равенство (1).






























Положим теперь
f ? Lp (0,1), 0 ? p ??? .

В силу (1)
с учетом того,

что

~










1




p
?
~


?
~



































p















































?

f

(t) ? 1 при t ? 0 , получаем ?

f (x)


dx ? ? td?

f

p (t) ????td?

f

(t) .
(2')

































При



0






??





0





















































~
















?











1
?
?

1
?














p















p



p















































p  ?t ? ? m?x ?( 0,1) :






? t?? m?x ?( 0,1) :










?

?

t ? 0 : ?

f



f ( x )

f ( x )

? t
????? f  ?t

?.






































?












?
?

?





9

Таким  образом,  из  соотношения  (2’),
сделав  замену  переменных
t ? ?t' ?p ,
получаем первое равенство (2).


Дальше, для всякого A ? 0 выполняется


A
A
A

? ?t p d? f  ?t ????t p ? f  ?t ?0A  ? ? ? f  ?t ?dt p  ???A p ? f  ?A?? p? ? f
?t ?? t p ?1 dt
0
0
0


(интегрирование по частям: u ? t p ,v ??? f  ?t ?).

     Чтобы обосновать второе неравенство в (2), устремим в последнем соотношении число A к ? и применить оценку:



A p ? f ( A ) ?



?





f ( x ) p dx

? 0 при A ??? .
































?x:

f ( x )

? A?


































Предложение 2 обосновано.




Замечание. Если

функция
f ( x)  задана на R1 , то  применяется равенство (2)

для  функции
fk (x) ? f (x ? k), x ? (0,1)  ,
k ? 0,?1,?2,,  и
учитывается,  что

? f
?t ?? m?x ? R1
:

f ( t )

? t?? ??
? f k  ?t ?
, в результате имеем
































p
k ???
?
?








?












?





?


f ( x)

p dx ? ?

f k ?x?







dx ?
? p ? ? t p ?1 ? f k  ?t ?dt ? p ? ? t p ?1 ? f  ?t ?dt,
(3)




















R1


k ???












k ???
0
0



0 ? p ???.




























10


степенью

m??z?? ? ?z
Глава 2. Пространства суммируемых функций.

2.1. Основные понятия.

     М.Рисс одним из первых получил первую интерполяционную теорему применительно к теории операторов. Она была представлена в виде неравенства билинейных форм. Г.О. Торин провел уточнение данной теоремы, а также составил ее операторную формулировку. Все первоначальное развитие теории интерполяции линейных операторов было направлено на обобщения данной теоремы. Далее рассмотрим формулировку данной теоремы.

Теорема.

Положим

p0  ? p1, q0  ? q1 .
Оператор

Т
действует
из

пространства Lp0    в  Lq0
с нормой M 0  и в то же время из Lp1

в Lq1    с нормой

M1 . В таком случае T будет непрерывным оператором из пространства Lp
в

Lq   с нормой M,

удовлетворяющей неравенству
1?t
? M
t
при условии,




M ? M 0


1



1



1 ? t

t
1
1 ? t

t









что 0