Решение уравнений и неравенств с параметром

Содержание
ГЛАВА1.ЭЛЕКТИВНЫЕКУРСЫВОБУЧЕНИИМАТЕМАТИКЕ	4
1.1.Цель,задачи,функцииэлективныхкурсов.	4
1.2.Типыэлективныхкурсов.	5
1.3.Элективныекурсынаэтапепредпрофильнойподготовки.	6
1.4.Мотивывыборашкольникамиэлективныхкурсов.	7
1.5.Требованияксодержаниюпрограммэлективныхкурсов.	7
1.6.Учебно-методическийкомплекс.	8
1.7.Элективныекурсывобразовательнойобласти«Математика».	12
ГЛАВА2.ЗАДАНИЯСПАРАМЕТРАМИ	15
2.1.Общаяхарактеристиказаданийспараметром.	15
2.1.1.Некоторыевидыуравненийспараметром.	15
2.1.2.Решениеуравненийспараметром.	17
2.2.Методырешениязадачспараметрами.	18
2.3.Заданияспараметрамивпрограммематематикисреднейшколы(7-9классы).	26
2.3.1.Анализшкольныхучебниковпоалгебре	27
2.3.1.1.Анализшкольныхучебниковпоалгебре7класс.	27
2.3.1.2.Анализшкольныхучебниковпоалгебре8класс.	31
2.3.1.3.Анализшкольныхучебниковпоалгебре9класс.	36
2.4.Элективныйкурсдля9класса.«Решениеуравненийинеравенствспараметрами».	39
2.5.Апробацияэлективногокурса.	41
ЗАКЛЮЧЕНИЕ	45
Списокиспользованныхисточников	Ошибка! Закладка не определена.
Приложение1	Ошибка! Закладка не определена.
Приложение2	Ошибка! Закладка не определена.



     ВВЕДЕНИЕ
     Задачиспараметрамиимеютбольшуюзначимостьвсозданиилогическогомышленияиточнойкультурыушкольников,однако,ихразрешениепорождаетуучащихсясущественныепроблемы.Трудностьподобныхзаданийразъясняется,впервуюочередьтем,чтоприрешениидажепростыхуравненийинеравенств,включающихпараметры,необходиморазделитьвсебезисключенияслучаи,длякаждогоизкоторыхвзадачеимеетсясвоерешение.Врешениизаданийспараметроммалопопроступониматьпринципыииспользоватьсостава,тутнеобходимоосознатьзакономерности,использоватьспособностирассмотрениялюбогоопределенногопроисшествиявбазепопулярныхединыхкачествпредмета,концепциииочередности.
     Вматериалахгосударственныхэкзаменовученикампредполагаютсязадачи,включающиепараметр.Возникновениеподобныхзаднийвэкзаменахнеспроста.Спомощьютакихзаданийпроверяетсястепеньобладанияформуламипростойарифметики,способамипостановленияуравненийинеравенств,умениесоздаватьзакономернуюцепочкуразмышлений,уровеньматематическойкультуры.
     Разрешениезадачспараметромсодействуетразвитиюпонятияоматематикекакспособезнаниядействительности,точтодаетвозможностьхарактеризоватьиисследоватьнастоящиедвиженияидейства,формируетумениетрудитьсясакадемическийточнымсловом.Задачиспараметромобучаютисследоватьиполучатьтребуемуюданные;конкретноиправильновысказыватьсобственныеидеисприменениемточнойтерминологииизнаков,осуществлятьсистематизации,закономерныеобъяснения,подтвержденияточныхположений;точтосодействуетразвитиюпонятияиструктурированияданных,возможностиподбиратьметодпредоставленияинформациивсогласованиисзадачей.
     Решениезадачспараметрамивызываетбольшиезатрудненияуучащихся,посколькувпрограммепоматематикесреднейистаршейшколыимпрактическинеуделяетсявнимание.
     Объектисследования:процессобученияматематикеучащихся9-хклассов.
     Предметисследования:технологическоеобеспечениеразработкиэлективногокурса«Заданияспараметромвшкольномкурсематематики».
     Цельисследования:разработка элективного курса по математике для учащихся 9-хк лассов потеме«Решение уравнений и неравенств с параметром».
     Гипотезаисследования:углубленноеизучениематематикиспомощьюэлективногокурсапозволитповыситьуровеньзнанийпопредметуиобеспечитнеобходимуюсодержательнуюипсихологическуюподготовкукобучениювстаршейшколе.
     Всоответствиисцельюисследованиянеобходимовыполнитьследующиезадачи:изучениеианализучебнойлитературыпопредметуисследования;
     1) изучениетребованийкэлективнымкурсам;
     2) сборисистематизацияматериаловдлясозданияэлективногокурсапотеме«Решениеуравненийинеравенствспараметром».
     Впроцессеисследованияиспользовалисьследующиеметоды:
     1)анализлитературы;
     2)анализопытаразработкиэлективныхкурсов;
     3)наблюдениеиконтрользаработойучениковвпроцессепреподавания.
     Работасостоитиздвухглав,заключения,библиографиииприложений.

     ГЛАВА1.ЭЛЕКТИВНЫЕКУРСЫВОБУЧЕНИИМАТЕМАТИКЕ
     
     1.1.Цель,задачи,функцииэлективныхкурсов.
     Элективныекурсы(курсыповыбору)–этокурсыповыборуучащихся,иновыйкомпонентвшкольнойсистеме,которыйпредставляетнемаловажнуюрольвконцепциипрофильногообразованиявосновнойистаршейшколе.Отфакультативныхкурсовкурсыповыборуотличаютсятем,направленийнаправлениясогласноподборуразличаютсяэтим,точтоониявляютсяобязательными.
     Цельприизученииэлективныхкурсов–угодитьперсональнымнаклонностямлюбогоучащегося,атакжесоциализацияшкольников,помощьвосознанномвыборебудущейсферыдеятельности.
     Курсыповыборуобязаныпосодействоватьврешенииследующихпроблем:
     1)увеличениестепенииндивидуализацииобразованияисоциализацииличности;
     2)организациясознательноговыбораобластипредстоящейпрофессиональнойдеятельности;
     3)помощьвформированииотношенияучащихсяксебе,какксубъектупредстоящейпрофессиональнойдеятельности;
     4)формированиеспособностейиспособовработыучащихся,содействиевпостановлениифактическихпроблем;
     5)формированиеусловийсцельюсамообразования,развитиеспособностейнезависимойдеятельностьисамоконтролядостижений.
     Набазецелейизадачпрофильногообразованияэлективныекурсымогутосуществлятьследующиефункции:
     •подборлибоуточненияпрофиляобучения,установлениеуровняготовностииобоснованностиподбораобластипредстоящейпрофессии;
     •спецификаобучениястроитсянаединичныхобразовательныхтраекториях(увеличениестепениисследованияключевыхобъектовпреподавания);
     •исследованиетребуемыхтемнауровнепрофиля;введениемеждисциплинарныхвзаимосвязей,объединениеавтономныхпредставлений,сформированныхврамкахединичныхтеоретическихобъектов,вобщуюкартинумира;
     •подготовкаксдачеэкзаменовнауровнепрофилясцелью;
     •совершенствованиепознавательныхиорганизационныхспособностей[25].
     Каждаясданныхфункцийспособнаявлятьсяосновной,однако,вцелом,ониобязаныосуществлятьсявместе.
     
     1.2.Типыэлективныхкурсов.
     Можноусловноразличатьследующиетипыэлективныхкурсов.
     I.Предметные(тематические)курсы,задачейкоторыхсчитаетсяувеличениезнанийподисциплинам,входящимвбазовуюучебнуюпрограммусреднейшколы.Ихможноразделитьнанесколькогрупп.
     1.Элективныекурсыповышенногоуровня,углублениевизучениеакадемическогопредмета,имеютвременнуюипредметнуюкоординациюсэтимакадемическимпредметом.
     2.Элективныекурсы,вкоторыхизучаютсяотдельныеразделыосновногокурса,включенныевобязательнуюпрограммуэтогопредмета.
     3.Элективныекурсы,вкоторыхподробнорассматриваютсяединичныесегментыбазовогонаправления,невведенныевобязательнуюучебнуюпрограммуэтогопредмета.
     4.Практическиеэлективныекурсы,цельюкаковыхявляетсяознакомлениеспрактикойопытнымпутем,формированиезаинтересованностишкольниковксовременнымтехнологиямипроизводству.
     5.Элективныекурсыпоспособампознанияприроды.
     6.Элективныекурсыпоисториипредметаврамкахучебнойпрограммышколыиневключенныевнее.
     7.Курсыповыбору,посвященныеизучениюметодоврешениязадач.Составлениеирешениезадач,основанныхнафизическом,химическом,биологическомэксперименте.
     II.Межпредметныевыборныекурсы,цельюкоторыхявляетсяобъединениезнанийприродыиобщества.
     III.Элективныекурсыпопредметам,невведеннымвбазовуюучебнуюпрограмму[43].
     
     1.3.Элективныекурсынаэтапепредпрофильнойподготовки.
     Внедрениеидеинепременногораспределениенапрофиливстаршейшколеставитвыпускниковсреднегозвенапередпотребностьюсовершитьсерьезныйвыбор.Выборученикатакжедолженбытьвыполненвотношенииперсональногообразовательногопути(илипрофессионального,еслиосновнаяшколастанетпоследнейступеньюшкольногообразования)исравнительносамоопределениявотношениинаправленияпрофилясвоейдеятельности.Концепцияпрофильногообразованиявстаршемзвенеобщегообразованияподразумеваетформированиеусловийвосновнойшколе,которыепозволятучащимусясделатьэтотвыбор[31,41].
     Напериодпредпрофильнойподготовкиэлективныекурсыдолжнысохранитьвподросткахзаинтересованностьктойилиинойакадемическойдисциплине.
     Основнымицелямикурсовповыборувосновнойшколеявляются:
     * созданиеобстоятельств,способствующихинформированномувыборупрофилявстаршейшколе;
     * содействиеразвитиюиндивидуальнойответственностиучащихсязавыбранныйметодобучениявсреднейшколе[33,36].
     
     
     1.4.Мотивывыборашкольникамиэлективныхкурсов.
     Посколькукурсыповыборуизбираютсясамимиучащимися,ониобязаныотвечатьихнуждам,целямобученияиаргументамподбора.Необходимовыделить,чтоглавнымифакторамиподбораэлективныхкурсовв9-11-хклассах,какиенеобходимоприниматьвовниманиеприразработкеипроведениивыборныхкурсов,считаются:
     * подготовкакэкзаменампоосновнымдисциплинам;
     * приобретениезнанийиспособностей,освоениеспособовработыдлярешенияактуальныхвопросов;
     * получениевозможностейсцельюуспешнойкарьеры,атакжепродвижениянарынкетруда;
     * любопытство;
     * поддержкаисследованиябазисныхнаправлений;
     * профессиональнаянаправленность;
     * интеграцияимеющихсямыслейвпоследовательнуюкартинумира[30].
     
     1.5.Требованияксодержаниюпрограммэлективныхкурсов.
     Основойдлядеятельностипедагога,проводящегоэлективныйкурс,являютсяпрограммыэлективныхкурсов,атакжеразнообразныетренировочныепособияиучебныематериалы.Наихбазепедагогможетсоставитьсвойкурсповыборусучетомстепениподготовленностиобучающихся.Чтонеобходимоприниматьвовниманиеприразработкекурса?
     Основнымиусловиямиксодержаниюэлективныхкурсовсчитаются:
     1)направленностьнаинновационныеобразовательныетехнологии;
     2)соответствиеучебнойнагрузкиучениковстандартам;
     3)выполнениеустановленныхправилрегистрациипрограмм;
     4)присутствиепособия,включающиетребуемуюинформацию;
     5)краткосрочностьнаправления;
     6)ознакомлениеподростковструдностями,выходящимизаграницыклассическихобъектовпреподавания[34];
     7)удовлетворениепознавательныхинтересовучащихсявразныхсферахчеловеческойдеятельности.
     
     1.6.Учебно-методическийкомплекс.
     Требованияизпункта1.5.ккурсамповыборудолжныбытьотраженывконцепциииспользованныхпедагогомучебныхматериаловдляшкольников–учебно-методическомкомплексе(УМК).УМКдолженвключатьследующиеосновныеэлементы:
     Программакурса.
     Пояснительнаязаписка.
     Аннотация–этоподтверждениепотребностивнедренияданногокурсавсреднееучебноезаведение.Онаобязанасодержатьвсебенаименованиеиглавнуюсущность,длякоторогобылсозданспециальныйкурс.Немаловажно,чтобыаннотациябыласжатойидавалаполноепониманиеонаправлении.Тоестьдавалапонять,каковаяпотребностьинеобходимостьвкурседляучеников,преподавателей,родителейишкольногосообществавцелом.
     Указаниеместаироликурсавпрофильномобучении.
     Важнопродемонстрироватьролькурсавконцепцииобщеобразовательныхпредметовиосновныхпредметовпрофиля:
     * какиемежпредметныевзаимосвязиреализуютсяприизучениивыборногокурса;
     * какиеобщиеиспециальныенавыкиформируютсявэтомпроцессе;
     * какформируютсяусловиядляактивизациипознавательнойзаинтересованности,профессиональногосамоопределения;
     * каквнедрениекурсавучебнуюпрограммуконкретнойшколысможетпомочьвраскрытииирешениипроблемшкольногосообщества(например,развитиешкольногосамоуправления,организациядосугашкольников,усилениевзаимодействиясемьиишколы,местнойадминистрации,общественности,региональногокомпонента,школыимиджаиконкурентоспособности)[37].
     Цельизадачикурсовповыбору.
     Целькурса–исследованиенуждсубъектовучебногопроцесса(обучающихся,преподавателей,школьногосообщества,общества).Всогласованииснуждамисформулироватьцеликурса–то,чтоследуетвыполнитьдлядостиженияцели;счемименноучительиученикидолжныработатьприизучениикурса.
     Методыиформыобучения.
     Методыиформыобучениядолжныудовлетворятьтребованиямпрофилированияобучениясучетомличностныхивозрастныххарактеристикобучающихся,формированияисаморазвитияличности.Вданнойвзаимосвязинемаловажноустановитьключевыеценности.методологииизучениякурсовповыбору:
     * междисциплинарноеобъединение,способствующиеформированиюцелостногомиропонимания;
     * обучениепосредствомпередачиопытаичерезсотрудничество;
     * учетличныхотличительныхчертинуждобучающихся;
     * интерактивность(деятельностьвнебольшихгруппах,ролевыеигры,имитационноемоделирование,тренинги,методпроекта);
     * индивидуальнаяработаисубъект-субъективныйподход(наибольшийинтересивниманиекличностиученика,анецелиучителя,ихравноправноевзаимодействие);
     * облегчение[39].
     Ведущуюрольвобучениидолжнобытьспособампоисковыхиэкспериментальныхработ,стимулированиюпознавательнойдеятельностиучениковиформированиюспособностейнезависимойдеятельности.Сданнойцельюпрограммадолжнасодержатьвсеберазличныеконференции:
     * групповаядеятельностьсакадемическимтекстомсдальнейшимсовместнымрассмотрениемсцельюустановленияключевыхопределений,дляосвещенияпроблемы,постановкицелейизадачисследования;
     * работавкомпьютерномклассе,применениеэлектронныхэнциклопедийисправочников,атакжепоисковыесистемыИнтернетсцельюподбораданных;
     * публичныевыступленияподаннойпроблеме[33].
     Втакомслучаеосновнойфункциейпедагогасчитаетсяпомощь-первенство,основанноенасовместныхмероприятиях,нацеленныхнадостижениеобщейобразовательнойцели.Такогородааспектдаетвозможностьсформироватьатмосферуконкурентнойборьбы,здоровогопсихологическогоклимата,основанногонаобоюдномобучении,взаимнойподдержки,совместнойработе.
     Приустановленииконфигурацийформучебныхзанятийследует,впервуюочередь,отталкиватьсяотопределенныхранеецелейкурса.Таккакдажеодинученикможетвыбратькурсповыбору,тоследуетвариантыобучениякаквгрупповых,такивиндивидуальныхформах.Втомслучае,еслисодержаниемкурсаможноовладеть,толькоработаявгруппе,следуетуказатьнаименьшеечислообучающихсявколлективе.
     Важнопредусматриватьприменениетакихметодовиформобучения,которыепредоставятучащимсяпониманиеобобстоятельствахидействияхпредстоящейпрофессиональнойдеятельностивсогласованиисподобраннымпрофилемобучения,втакомслучаевтойилиинойстепенионистанутмоделироватьих[40].
     Ожидаемыйрезультатизучениякурса–этоответнавопрос:какиезнания,способности,навыки,опыт,требуемыедляформированияперсональнойобразовательнойлиниидвижениявшколеиэффективнойвысококласснойкарьерыужепослезавершениясреднегоучебногозаведениястанутдоступны;какиеразновидностиработыстанутосвоены.
     Системаформконтроляуровнядостиженийучащихся.Следуетсоздатькакформыпромежуточногоконтроля,такиформыитоговогоконтроляпокурсу.Оценкаможетбытьпоказанакакввиде«зачет/незачет»,такипошкалеот1до5.Сцельювыполненияконечнойсертификациипорезультатамкурсавыможетеприменять:
     1) специальнуютестовуюработу(экзамен,тест);
     2) наборнезависимовыполненныхработ(диаграммы,чертежи,макеты,рефераты,исследовательскиеотчеты,эссе);
     3) задокументированныедостижения(сертификаты,дипломы).
     Учебно-тематическийплансодержитглавноесодержаниевсехразделов,темкурса,чтоуказываетнаколичествовременидляихизучения.Отдельносуществуютпрактическиеилабораторныеработы,экскурсии,образовательныепроектыит.д.
     Содержаниекурсавключаетвсебяпереченьтемспримернымраспределениемвременииабстрактнымописаниемтем.
     Методическиесоветыпоизучениюкурсаявляютсянеобязательнойсоставляющейпрограммыипредполагаютвесьмакраткоеописаниеформ,методовиинструментов,рекомендованныхсоздателемкурса.Приработеспрограммамиэлективныхкурсов,включающихметодологическиесоветы,необходимоиметьввиду,чтоэтосоветы,анеинструкции,атемболеенетребования,предъявляемыекпедагогу.
     Рекомендованнаяспецлитератураобычноуказываетсявконцепрограммы,иможетбытьпредоставленодинсписокилиотдельныеспискидляпреподавателяидляучащихся.Присоставлениитакихсписковследуетучитыватьналичиелитературыдляшколы.
     Рабочаятетрадь:главнаярольрабочейтетради–нестолькоосуществитьвоссозданиеиспользованногоматериала,сколько,датьвозможностьобучающемусябытьдействующимучастникомпроисходящихвокругнегожизненныхсобытий.Такимобразом,рабочаятетрадь–этосборникзадачизанятий.Заданиярабочейтетрадиобязаныгарантироватьразъяснениеиспользованногоматериала,обеспечиватьегопониманиеинаправленноеприменениевпрактическойдеятельности[37].
     
     1.7.Элективныекурсывобразовательнойобласти«Математика».
     Изчислашкольныхпредметовматематиказанимаетособуюроль.Всерединеминувшеговекавстаршихклассахсреднихучебныхзаведенийогромныйинтересуделялсяматематике.
     Спецификаобученияматематикивстаршихклассахвзначительнойстепениобуславливаетсятем,чтоэкзаменпопредметуявляетсяобязательнымдлявсехшкольников.НасегодняшнийденьданныйэкзаменведётсявформеЕГЭ.Единыйгосударственныйэкзаменпоматематикесчитаетсясерьезнойпроцедурой,требующейособойподготовки[38].
     Вотличиеотиныхпредметов,математикаизучаетсявуниверситетахразличныхпрофилейподготовки(математических,естественнонаучных,технических,экономических,военных,связанныхсматематическойлингвистикойит.д.).СвведениемЕдиногогосударственногоэкзаменаучительматематикипрямоиликосвенновещебольшейстепенистановитсяответственнымзасдачувступительныхэкзаменоввуниверситет.
     Можнопрогнозировать,чтооченьмногиепедагогиматематикипожелают,явноилинеявно,применятьэлективныекурсысцельюдобавленияксодержаниюосновнойпрограммы,заданийсусложнениямиприподготовкеучениковкэкзаменам.
     Насегодняшнийденьглавнаязадачиобразованиясопряженасформированиемличностииеевозможностьюбытьактивной.Несмотрянато,чтодонедавнеговремениглавнойцельюявлялосьосвоениесуществующихзнаний,синтезитогов,приобретённыхпредшествующимиипоколениями.
     Веськурсматематики,какправило,базируетсянарешениизадачразнойзначимостиитрудности.Несомненноочевидно,чтокаждаятеоремаможетидолжнарассматриватьсякакзадача,еедоказательство–ровнокакрешениеэтойзадачи.Различныеследствияиздоказательства(использованиедоказанноговразличныхобластях)–какприменениеэтойзадачи.Учащийсяобязанощущатьэстетическоеудовлетворениеототличноразрешеннойзадачи,свозможностииспользоватьзнанияизматематикивдругихнауках.Многочисленныесоздателиэлективныхкурсовпоматематикистремятсякэтойцели[43].
     Важнаязадачаобучениянакурсахповыборускладываетсяизтого,чтобыпредставитьобучающихсясматематикойкакобщейкультурнойценностью,развитьпониманиетого,чтоматематикаявляетсяинструментомпознанияокружающегомираисамогосебя.
     Обучениенакурсахповыборудолжносовременемсовершенствоватьспособностиобучающихсяворганизацииумственнойдеятельностиисамообразования.Здеськрометогодолжнобытьсформированоумениевосприниматьобъясненныйматериалдостаточнобыстро,чтобыизложитьего,соднойстороны,иумениеработатьсучебникамииинойлитературой,сдругой.Однойизцелейобразованияявляетсяформированиеуваженияккниге(впервуюочередь–кобразованию)вцелом.Входеосвоенияпрограммыкурсаповыборустоитдаватьобучающимсявозможностьприменятьразнообразныеучебники,научнуюлитературу,энциклопедииит.д.ЗначительнуюподдержкуздесьспособнооказатьиспользованиеИТ-технологий[41].
     Педагогспособенпопроситьуобучающихся(вдомашнемзаданииилитестовойработе,например)отыскатьвглобальнойсетирядтезисовсогласнобудущийтеме.Исследоватьнайденныетезисыисформироватьсвойбиблиографическийсписокилиподобратьиз2-3текстовболееувлекательныевыражения[38].
     Такимобразом,мыпроанализировалиобщиеположенияосозданииипроведенииэлективныхкурсов,которыестанутпредусмотреныприразработкеэлективногокурсапоалгебре«Решениеуравненийинеравенствспараметром».
     Выводыпопервойглаве:
     1. Профильноеобучениеориентированонареализациюиндивидуальногоучебногопроцесса.
     2. Организацияобученияматематикенаразныхпрофиляхдолжнапроводитьсявсогласованииспедагогическимиипсихологическимиотличительнымиособенностямииманероймышленияобучающихся.
     3. Курсыповыборудаютвозможностьисследоватьматематику,какосновнойобъектвбазисеилиформироватьпрофильнуюспециализациюпреподаванияисоблюденияиндивидуальныхобразовательныхинтересов.
     4. Существуетрядразновидностейэлективныхкурсов:предметные,межпредметныеиэлективныекурсыпопредметам,невключеннымвбазовуюучебнуюпрограмму.


     ГЛАВА2.ЗАДАНИЯСПАРАМЕТРАМИ
     
     2.1.Общаяхарактеристиказаданийспараметром.
     Выясним,чтожетакоезаданиеспараметром.Есливзаданиинекоторыекоэффициентыобозначеныбуквами,то«этибуквы»называютсяпараметрами,ауравнение–параметрическим.Например,уравнениеax=bявляетсяуравнениемспараметрамиаиb.
     Уравнениеспараметрами—математическоеуравнение,внешнийвидирешениекоторогозависятотзначенийодногоилинесколькихпараметров[42].
     Решитьуравнениеспараметромозначает:
     1. Найтивсесистемызначенийпараметров,прикоторыхданноеуравнениеимеетрешение.
     2. Найтивсевозможныерешениядлялюбойнайденнойсистемызначенийпараметров,тоестьдлянеизвестногоипараметрадолжныбытьуказаныдиапазонывозможныхзначений.
     Основныеформулировкизаданийспараметром:
     1)найтивсезначенияпараметра,прикаждомизкоторыхвыполняетсяопределенноеусловие;
     2)решитьуравнениеилинеравенствоспараметром.
     
     2.1.1.Некоторыевидыуравненийспараметром.
     * Линейныеуравнения.
     Уравнениевида,где,называетсялинейнымотносительнонеизвестного.
     Исследованиеирешение.
     1. –любоедействительноечисло.Уравнениеимеетединственноерешение.
     2. Уравнениепринимаетвидрешениямиявляютсявсе.
     3. Уравнениерешенийнеимеет.
     * Квадратныеуравнения.
     Уравнениявида,гденазываетсяквадратнымуравнением.–дискриминантквадратногоуравнения.
     Исследованиеирешение.
     1. Если,тоуравнениенеимеетдействительныхкорней.
     2. Если,тоуравнениеимеет2различныхкорня.
     3. Если,тоуравнениеимеетдваодинаковыхкорня.
     * Тригонометрическиеуравнения.
     Чащевсеготригонометрическиеуравненияспараметрамисводятсякрешениюпростейшихтригонометрическихуравнений.Впроцессерешениятакихуравненийнеобходимопомнитьобограниченноститригонометрическихфункцийу=sinxиy=cosx.
     * Показательныеуравненияспараметрами.
     Многиепоказательныеуравненияспараметрамисводятсякэлементарнымпоказательнымуравнениямвидааf(x)=b?(х),гдеа>0,b>0.
     Областьдопустимыхзначенийтакогоуравнениянаходитсякакпересечениеобластейдопустимыхзначенийфункции.Длярешенияуравненияаf(x)=b?(х)необходиморассмотреть5случаев:
     1. Прирешениемуравненияявляетсяобластьегодопустимыхзначений.
     2. Прирешениемуравненияслужитрешениеуравнениянаобластидопустимыхзначений.
     3. Прирешениеуравнениянаходитсякакрешениеуравнениянаобласти.
     4. Приданноеуравнениебудетравносильноуравнениюнаобласти.
     5. Приданноеуравнениетождественноуравнениюнаобласти.
     * Логарифмическиеуравненияспараметром.
     Подобнотригонометрическимипоказательнымуравнениямспараметрами,решениелогарифмическихуравненийтакжесводитсякнахождениюкорнейэлементарногологарифмическогоуравнения.Важнымусловиемприрешениизадачподобноготипаявляетсяпроверкапринадлежностинайденныхкорнейобластидопустимыхзначений(ОДЗ)исходногоуравнения[26,35].
     
     2.1.2.Решениеуравненийспараметром.
     Прирешенииуравненийспараметромследуетсосредоточитьинтереснатом,чтопараметр,находясьфиксированным,ноприэтомнеизвестнымчислом,является неизвестным числом.Во- первых,предполагаемаяизвестностьдаетвозможностьобращатьсяспараметромравнокаксчислом,аво- вторых,–уровеньфиксированностиограничиваетсяего степень свободы.Такимобразом,кобразцу,получениекорнячетнойстепени,деление на выражение,включающеепараметр,призываютподготовительныхизучений.Итогиданныхизученийоказываютбольшоевлияниеиврезультате,иврешение.
     Решитьуравнениеспараметром–этозначитпоказать,какимобразомдлялюбогозначенияпараметраможнонайтисоответствующиезначениякорней,еслионисуществуют,илиустановить,чтоприэтомзначениипараметракорнейнет[11].
     Сделаемоднозамечание.Значимымшагом решенияуравненийспараметромсчитаетсязаписьрешения.Данноеособеннообъективнов тех примерах, где решениеменяетсяот значения параметра.Ваналогичныхвариантахрезультатстанетприобретенпосредствомсозывапреждеприобретенныхитогов.Тутвесьманемаловажноникакнепозабытьсделатьзаписьврешениивсебезисключениярубежипостановления.
     
     2.2.Методырешениязадачспараметрами.
     Решениекаждойзадачисвоеобразноитребуетксебеиндивидуального,нестандартногоподхода,посколькунесуществуетединогоспособарешениятакихзадач.
     Выделяюттриосновныхметодарешениязаданийспараметром:
     * Аналитическийметод.
     Этоспособпрямогорешения,повторяющийстандартныепроцедурынахожденияответавзадачахбезпараметра[14].
     Пример1.Прикакихзначенияхпараметраaразностькорнейуравненияравна1?
     Данноезаданиеможновыполнитьразнымиспособами:поформулекорнейквадратногоуравнения(решение1),спомощьютеоремыВиета(решение2).Втекстепредставленыобарешения,ноотчетливовидно,чтоиспользованиетеоремыВиетазначительнооблегчаетзадачунахождениязначенийпараметра.
     
     Решение1:
     
     Решение2:
     
     Пример2.Найдитекорнимногочлена,значенияпараметроваиb,есликаждыйизкорнейиявляетсяпростымчислом[18].
     Поусловиюмногочленимеетдвакорня,обозначимихи,аследовательно,можнопредставитьввиде:.Подставимввыражениеединицу.-простоечислосогласноусловиюзадачи,следовательно,одинизмножителейравен1или-1.Пусть
     Если,но0неявляетсяпростымчислом,значит,а,2-простоечисло.-тожепростоечисло,таккак-простое,то-четноечисло,носуществуетединственноепростоечетноечисло2,следовательно,.
     Итак,многочленимеетдвакорня:2и3.Подставимкаждыйизкорнейвмногочлен,получимсистемууравнений:
     .
     Решивсистемууравнений,найдемaиb.
     Ответ:
     * Графическийметод.
     Взависимостиотзадачи(спеременнойxиспараметромa)рассматриваютсяграфикивкоординатнойплоскости(x;y)иливплоскости(x;a).
     Пример3.Прикакихзначенияхпараметраасуммакорнейуравненияпринимаетнаибольшеезначение?[27]
     Решение.Посколькуречьидетосуммекорнейуравнения,тодискриминантдолженбытьположительным:.Решивнеравенство,получимследующеемножествозначенийа:(рис.1).
     
Рисунок1.
     ПотеоремеВиета.Наибольшеезначениесуммыкорнейсовпадаетсмаксимумомквадратичнойфункциинамножестве.Построимграфикквадратичнойфункции(рис.2).
     
Рисунок2.
     Наибольшихзначенийназаданноммножествефункциядостигаетвточкахсабсциссами1и2.
Ответ:1,2.
   Пример4.Найтивсезначенияпараметраа,длякоторыхсистемауравненийимеет2решения.

     Решение.Рассмотримпервоенеравенствосистемы.Найдеммножествоточекплоскости,удовлетворяющеенеравенству.Данноенеравенстворавносильносовокупностидвухсистемнеравенств:
      
     Множествоточек,удовлетворяющеесовокупностинеравенств,изобразимнаплоскости(рис.3).
      
Рисунок3.
     Возведемобечастивторогоуравнениясистемывквадрат(обечастиуравнениянеотрицательны)иполучимравносильноеемууравнение:,котороеявляетсяуравнениемокружностисцентромвточке(–а;а)иквадратомрадиуса.
     Системабудетиметьдварешениявтомитольковтомслучае,еслиокружностьбудеткасатьсяпрямых(рис4).
      
Рисунок4.
     Найдемкоординатыточек,отмеченныхнарисунке:
      
     Пустьокружностькасаетсяпрямойвточке,тогдапрямойонабудеткасатьсявточке.
     Очевидно,тогда.Следовательно,.
     Прямая,проходящаячерезточкуА,перпендикулярнапрямойиимеетвид:Подставимвуравнениекоординатыточки,получим:откудаследует,что
     Получаемсистемууравнений:
      
     Упростимуравнение.
      
     Закончивпреобразования,получаемуравнение
      
     Заменимавпервомуравнениина5х.
      Преобразуемполученноеуравнение,
      решимквадратноеуравнение.
      
     Знаях,найдема:
      
     Ответ:
     Пример3.Прикакихзначенияхпараметраакорниуравненияявляютсяцелымичислами?
     Решение:
     Если
     ЕсливоспользуемсятеоремойВиета:
     .
     Длятого,чтобыкорнибылицелыми,необходимо(нонедостаточно),чтобывыражениебылоцелым,следовательно,адолжнобытьделителемчисла(–3),тоесть,.
     Если
     Если,токорнейнет;
     Если,целыхкорнейнет;
     Если,токорнейнет.
     Ответ:приа=0;а=1
     Пример4.Найдитевсезначенияпараметраа,прикоторыхуравнение
      имеет3корня.
     Решение.Леваячастьуравненияпредставляетсобойсуммудвухмодулей,следовательно,.
     Раскроеммодули.Дляэтогоопределимнуликвадратныхтрехчленов
      и.Отметимнулиначисловойосииопределимзнакинапромежутках(рис.5):
      
Рисунок5.
     Получаем,чтопри
      	нетрешений;
      	бесконечномногорешений;
      	четыререшения;
      	трирешения;
      	дварешения;
     Построимграфик(рис.6)[22]:
      
Рисунок6.
     Ответ:уравнениеимееттрикорняпри.
     2.3.Заданияспараметрамивпрограммематематикисреднейшколы(7-9классы).
     Вшкольнойпрограммематематикиочевиднонеупоминаетсяозадачахспараметрами,однакобылобсовершеннонеправильноговорить,точтозадачиспараметрамисовсемникакнезатрагиваетсяврамкахшкольногонаправленияизученияматематики.Вспомним,кпримеру,школьныеуравнениявихсовокупном(микроканоническом)варианте:ax2+bx+c=0,y=kx,y=kx+b,tgx=a,тутa,b,c,kникакнеточтодругое,равнокакметеопараметр.
     Еслипараметру,содержащемусявзадании,добавитьопределенноечисловоероль,втакомслучаевероятенединственныйс2-ухситуации:
     1)выйдетравенство(различие),включающеетольколишьколичестваинезнакомые,никакневключающеехарактеристики;
     2)выйдеттребование,чтоникакнесодержитзначения.
     Развивающийвидуравненийспараметрамиобусловливаетсяихвозможностьюосуществлятьмногочисленныеразновидностимыслительнойработыобучающихся:
     1.Появлениеопределенныхалгоритмовмышления.
     2.Способностьопределитьколичествоиналичиеназваниевуравнении.
     3.Решениесемействуравнений,выступающихитогомданного.
     4.Пониманиеоднойнепрочнойспомощьюдругую.
     5.Выявлениеобластиопределенияуравнения.
     6.Повторениесущественногообъемаформулсмишеньюраспоряжения.
     7.Широкоеприменениесловесныхиневербальныхрассуждений.
     8.Развитиеграфическойкультурышкольников.
     Всеупомянутоебольшепредоставляетвероятностьотметитьонеобходимостиизучениярешенийвопросовспараметрами[18].
     
     2.3.1.Анализшкольныхучебниковпоалгебре
     Проанализируемдействующиеучебникикурсаалгебры,чтобывыяснить,насколькополнопредставленывнихзадания,использующиепонятие«параметр»,иметодырешенияуравнений,содержащихпараметр.
     
     2.3.1.1.Анализшкольныхучебниковпоалгебре7класс.
     1.МакарычевЮ.Н.идр.«Алгебра.7класс».
     Вовремяизученияуравненийестьдвазаданияспараметром(№538,№546).Внихрассматриваютсяпростейшиелинейныеуравнения,гдекоэффициентпринеизвестномявляетсяпараметром.Необходимоисследоватьнаколичествокорнейилипринадлежностькорнякцелымчислам.
     №546.Прикакомзначенииbкорниуравнений5bx–2(4x+b)–x=16bи1,6(2+x)–3,2(3x+4)=0являютсяпротивоположнымичислами?
     №538.найдитенатуральныезначенияa,прикоторыхявляетсянатуральнымчисломкореньуравнения:
     а)a(3x–2)+2(3+a)=18;
     б)3x(a–1)–2a(x+4)=4(1–2a).
     ВучебникеМакарычевав§15«Линейнаяфункция»(глава7«Функции»)рассматриваетсяпрямаяпропорциональность,где,используютпонятиепараметр,невводяего,привыяснениирасположенияграфикафункциивзависимостиоткоэффициента,который,всвоюочередь,иявляетсяпараметром.
     Далеезаданияспараметромвстречаютсятольковдополнительныхзаданияхкглаве8«Системылинейныхуравнений»(№1214-1216).Взаданияхнеобходимонайтизначениепараметра,еслиизвестнаточкапересеченияграфиков.
     №1214*.Прикакомзначенииапрямые4х+3у=аи2x–3y=8пересекаютсявточке,принадлежащейосиу,осиx?
     №1344.Прикакомзначенииапрямаяax+5y=9проходитчерезточкупересеченияпрямых5x+4y=6и3x–y=7[19]?
     2.МерзлякА.Г.идругие«Алгебра.7класс».
     Впервойглаве(§2)приизучениилинейныхуравненийприсутствуютзадания,вкоторыхтребуетсянайтизначенияпараметра,прикоторомкореньуравнениябудетцелымчисломилиуказатьприкакомзначениипараметрауравнениябудутиметьодинитотжекорень.
     №12.Решитеуравнение:
     1) (а–1)х=2;
     2) (а+9)х=а+9.
     Приизучениицелыхвыражений(глава2.§16)№108-109,№250-251:
     №108.Найдитевсецелыезначеният,прикоторыхкореньуравнения:
     1)тх=3;
     2)(т+4)х=49являетсяцелымчислом.
     №250.Прикакомзначенииbуравнения:
     1) 7–3х=6х–56их–3b=–35:
     2) 2у–9b=7и3,6+5у=7(1,2–у)имеютодинитотжекорень?
     ВГлаве3(§21)рассматриваетсялинейноеуравнениесдвумяпеременнымииегографик,гдеучащихсязнакомятспараметромвнеявномвиде,тоестьприрассмотрениинахождениякорнялинейногоуравнениясоднойнеизвестнойставитсяограничениенапеременнуюa(№633-634,№700,№721).
     №633.Прикакомзначенииапарачисел(а;2а)являетсярешениемуравнения2х+7у=16?
     №700.ПрикакомзначенииачерезточкуА(5;–3)проходитграфикуравнения:
     1) 4х–9у=а
     2) 6х–ау=15?
     №721.Прикакомзначенииаграфикуравненияах+4у=0проходитчерезточку:
     1)A(12;—4);
     2)В(0;2);
     3)О(0:0)?
     ДалеевГлаве3(§26-29)встречаютсязаданияпорешениюсистемуравненийспараметрами(№940-941,№970-971).
     №940.Прикакомзначенииасистемауравненийнеимеетрешений?
     №970.Прикакомзначенииaуравнение
     (x+2)(x–4)–(x–2)(х+4)=ахимеетбесконечномногокорней[22]?
     3.АлимовШ.А.идр.«Алгебра.7класс».
     Приизучениитемы«Уравнениясоднимнеизвестным»учащимсяпредлагаютсязадания,которыесодержатзадачиспараметром(№№99-125).Вэтихзаданияхнужнорешитьпростейшиелинейныеуравнениянанахождениезначенияпараметра,прикоторомуравнениеимееткорниилинеимееткорней(№123,124).
     №99.Решитьуравнение,еслиaиb–заданныечисла,отличныеотнуля:
     а)ax–3=b;б)4+bx=a;в)b=a(x–3);г)4=a–(bx–1);
     №123.Подобратьчислоaтакое,чтобыуравнениеимелокорни:
     а)5x–7=5x–a;б)x–(2–x)=2x–a;
     Особенноможновыделитьномер125,которыйпредставленвзадачахповышенногоуровня.Особенностьзаданийсостоитвтом,чтопредлагаютсялинейные,дробно-рациональныеиквадратныеуравненияспараметромпристаршемкоэффициенте.
     №125.Решитьуравнение,принимаязанеизвестноех,выяснитьприкакихзначенияхаэтоуравнениеимееткорни.
     a)2х–3(х–а)=3+а;
     б)a+6(x–1)=2a+x;
     в)(ax–2):2=(3–ax):4.
     Послерассмотренияразличныхспособоврешениясистемуравненийсдвумянеизвестнымипредлагаютсязадачи,однаизкоторыхсодержитсистемууравненийсдвумяпараметрами,гденеобходимонайтиэтипараметры,еслисистемаимеетединственноерешение;бесконечноемножестворешений;неимеетрешений.
     №732.Данафункцияу=kх+b.Прикакихзначенияхkиbграфикфункциипроходитчерезточки(-1;1)и(2;3).Найдитезначениеk,еслиизвестно,чтографикфункцииy=kx–1проходитчерезточку(-3;2)[15]?
     Вывод:врассмотренныхучебниках7классавстречаютсязаданияспараметрами,новниманиятакимзаданиямуделяетсямало,таккакихрешениеявляетсяоднимизсамыхтрудныхразделовкурсаэлементарнойматематикидляпониманияучениками.Такоеположениеделапредставляетсяопределеннымнедостаткомшкольногообучения,хотяизвестно,чтотакиезаданиянеобходимовключатьвучебникисцельюлогическогоразвитиямыслительнойдеятельностишкольников.Содержаниематериалаитребованиякучащимсяпотеме:«задачиспараметрами»должныопределяться,конечно,уровнемматематическойподготовкивсегоклассавцеломикаждоговотдельности.Поинтересующимучащихсявопросамможноорганизоватьдополнительныезанятия,кружкиифакультативы.
     
     2.3.1.2.Анализшкольныхучебниковпоалгебре8класс.
     1.МакарычевЮ.Н.идр.«Алгебра.8класс».
     ВучебникеМакарычевадля8классапотеме«квадратичнаяфункция»,помещеныдовольнопростыезадания№483-№488,связанныесграфикомквадратичнойфункции.
     Например:
     №483.Найдитезначениекоэффициентас,еслиизвестно,чтографикфункцииy=x2+4x+cпересекаетосьординатвточкеА(0;2).
     Далееследуютболеесложныезаданияспохожимсодержанием(№498-№503).Например:
     №500.ПрикакихзначенияхкоэффициентаbиcточкаА(1;-2)являетсявершинойпараболыy=x2+bx+c?
     Последаннойтемырассматриваетсяграфическоерешениеквадратногоуравнения,ипредлагаютсяупражнения,гдепараметрявляетсяправойчастьюуравнения(№518-№522).Например:
     №518.Прикакомзначенииpуравнениеx2–2x+1=pимеетодинкорень?
     №522.Прикакихзначенияхpуравнениеx2+6x+8=p:
     а)неимееткорней;
     б)имеетодинкорень;
     в)имеетдвакорня?
     Вглаве4«Квадратныеуравнения»понятиепараметравпервыепоявляетсявусловиизаданий№792-795.Например:
     №793.Прикакихзначенияхпараметраpуравнениеявляется:
     а)приведеннымквадратным.......................