Теоремы о среднем и их приложения

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Московский педагогический государственный университет»

Кафедра математического анализа









Костомарова Мария Анатольевна


ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ






Код и направление подготовки: 01.03.01 Математика

Профиль подготовки: Преподавание математики и информатики




Выпускная квалификационная работа









Заведующий кафедрой	Научный руководитель —

д.ф.-м.н.,	профессор	Геворкян	д.ф-м.н.,

П.С.	профессор Матвеев Е.М.






Проверка на объем заимствований:

% авторского текста








Москва — 2018 год

ОГЛАВЛЕНИЕ




ВВЕДЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
ГЛАВА 1
Среднее значение
5
ГЛАВА 2
Вспомогательные результаты
8
§1.
Дифференциальные теоремы о среднем . . . . . . . . . . . . .
8
§2.  Интегральные теоремы о среднем на отрезке . . . . . . . . . .
13
ГЛАВА 3
Приложения к теоремам о среднем
19
§1.
Приложение к теории функции комплексного переменного .
19
§2.
Принцип Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
§3.  Теорема Блихфельдта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
















































2

ВВЕДЕНИЕ






   Данная работа посвящена различным формам теорем о среднем и их приложениям к некоторым разделам математики.

   Теоремы о среднем в их обычном понимании отоносятся к классическо-му разделу математического анализа, многие из них носят именной харак-тер, поскольку связаны с именами выдающихся математиков (Лагранжа, Коши, Ферма, Ролля) и фактически лежат в основе математического ана-лиза. Суть классических теорем о среднем можно выражить следующим образом: среднее значение функции заключено между ее крайними значе-ниями.

   В данной работе теоремы о среднем понимаются в расширенном аспек-те, включая их дискретные аналоги. Особое внимание уделяется теоремам, суть которых может быть сформулированв в виде: существуют точки, в которых функция принимает значение не мнеьше/не больше ее среднего значения.

   При кажущейся простоте и очевидности теорем о среднем, доказатель-ство многих из них неэлементарно и недоступно, скажем, студентам, тех-нических вузов. Ряд приложений при этом кажутся уже совсем неочевид-ными.

   Целью данной работы и является изучение воможно большего числа аспектов указанных теорем, а также их приложений.

Структура работы.

   В первой главе вводится понятие среднего значения, обозначения и при-водятся его простейшие свойства.

   Во второй главе приводятся классические теоремы о среднем. В первом параграфе приводятся теоремы о среднем в дифференциальной форме. Во втором параграфе рассматриваются интегральные теоремы на отрезке.

   В третьей главе приводятся дальнейшие теоремы о среднем и их при-ложения.

   В первом параграфе третьей главы приводятся приложения теоремы о среднем к теории функций комплексного перменного, в частности, пока-зывается, как с их помощью можно доказать принцип максимума модуля


3

для аналитической функции.

   Во втором парграфе изучается так называмый принцип Дирихле, пони-маемый как дискретный аналог теоремы о среднем. Приводится его нетри-виалное приложение к теории чисел.

   В третьей главе изучаются теоремы о среднем, связанные с интегралом Лебега. В качестве приложений даются результаты из геометрии чисел, в том числе, знаменитая теорема Блихфельдта.

В заключении подводятся итоги работы.

   Работа содержит 28 страниц, список использованной литературы — 7 источников.
























































4

ГЛАВА 1 Среднее значение

Определение 1.1. Выражение вида
=  =  ( , ) =  ?  ? 



( )





1























называется средним значением функции	( ) на отрезке [ , ].

Отметим, что величина  ? является длиной (мерой) отрезка [ ; ] (см.

[1]).

Определение среднего значения можно обобщить на любое множество

с заданной на нем мерой. На отрезке, как было уже сказано, это длина.

На плоскости ( ? 2) мерой является площадь , тогда формула для расчета среднего значения имеет вид:
=  (  ) ? 
  .


1





















В пространстве мерой является объем  , значит

1  ? 
=  (  )  .



Тогда общая формула среднего значения функции на множестве с мерой ( ) определяется (подробнее см. в [2]) формулой
=  (  ) ? 
  .



1
























Также можно найти среднее значение на кривой , при условии, что мы можем найти длину этой кривой ( ):
=  ( ) ? 
  .



1



















   Пример 1. Найти среднее значение функции ( ) = на дуге окруж-ности 2 + 2 = 2, где  , ? 0, Среднее значение находим по формуле
=   ? 
   .


1




















5


Перейдем к параметрическому способу задания окружности:

=  cos  ,  =  sin  , 0 ?  ? 2 .

? 	? 

=	( ?)2 + ( ?)2	=	2(cos )2 +  2(sin )2   =

2
? 	? 
=cos=  2.

0

= 1 ? = 2  2 = 2



В конечном множестве в качестве меры можно взять количество чисел.

Тогда средним значением этих чисел будет их среднее арифметическое. Среднее арифметическое чисел 1, 2, . . . , вычисляется по формуле:
=	1 +	2 + . . . +	.



   Пример 2. В магазине продали 6 кг яблок по цене 55 рублей за кг и 4 кг груш по цене 75 рублей за кг. Какая средняя цена 1 кг фруктов?

За фрукты заплатили 55 · 6 + 75 · 4 = 330 + 300 = 630(руб.)

Общий вес фруктов 6 + 4 = 10(кг)

Тогда среднюю цену за 1 кг можно найти, воспользуясь формулой для нахождения среднего арифметического: 630:10=63(руб.)

   В вероятности на практике математическое ожидание случайной вели-чины приближенно считают ее средним значением [3].

Определение 1.2. Математическим ожиданием ( ) дискретной слу-чайной величины называется сумма произведений всех возможных зна-чений величины на соответствующие вероятности.

? 
(	) =  1  1 +  2  2 + . . . +	=	·  .

=1

Теорема 1.1. Математическое ожидание дискретной случайной вели-чины приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).

Доказательство. Пусть произвели испытаний, в которых дискретная случайная величина приняла значения 1, 2, . . . , соответственно

6

  1, 2, . . . , раз, причем 1 + 2 + . . . + =  . Тогда среднее ариф-метическое всех значений равно
=	1	1 +	2	2 + . . . +	=	1	1 +	2	2 + . . . +	.

 

Коэффициент является относительной частотой события «величина приняла значение » ( = 1, 2, . . . , ), то

=  1  *1 +  2  *2 + . . . +	*.

Из статистического определения вероятности следует, что при большом количестве испытаний * ? ( = 1, 2, . . . , ). То есть
? 1  1 +  2  2 + . . . +	=	(	).




   Пример 3. Пусть случайная величина принимает значения = ?1, 2, 5, 10, 20 с соответствующими им вероятностями = 0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1. Тогда математическое ожидание найдем по формуле

? 
(	) =	·  .

=1

(  ) = ?1 · 0.1 + 2 · 0.2 + 5 · 0.3 + 10 · 0.3 + 20 · 0.1 = 6.8.

   Покажем, как связать интегральное понятие среднего значения с мате-матическим ожиданием дискретной случайной величины. Представим мно-жество в виде конечного объединения непересекающихся множеств, т.е.
































? 














=

















=1







Тогда среднее значение функции  на области   равно




=  (  ) ? 
(  ) =
(  )

(  ) =  (  )





=1 ? 

=1(  ) =



1




1




1















? 


? 





























(  )










? 



? 









=




=·  .













(  )










=1






=1







   Здесь числа = (( )) можно интерпретировать как вероятность слу-чайной точки попасть в область . Тогда формула дает математическое

ожидание случайной величины	, равной	=	, когда	?	.



7


ГЛАВА 2 Вспомогательные результаты §1. Дифференциальные теоремы о среднем

   Дифференциальные теоремы традиционно относят [1] к теоремам о среднем, так как их формы похожи на среднее значение, т.е. некоторое среднее значение выражается через производную.

   В терминах производной бывает удобным описывать различные свой-ства функций. Для начала укажем характеристическое свойство точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. На-

помним, что если функция определена на некотором множестве , то говорят, что она принимает в точке 0 наибольшее (наименьшее) значе-

ние на множестве , если для всех точек ? выполняется неравенство ( ) ? ( 0) (неравенство ( ) ? ( 0)). Если для всех ? и ?= 0 выполняется неравенство ( ) < ( 0) (неравенство ( ) > ( 0)), то гово-рят, что в точке 0 функция принимает строго наибольшее (наименьшее) значение на множестве .

Определение 2.1. Точки, в которых функция принимает значения (стро-гого) максимума или минимума, называются точками (строгого) экс-тремума.

Теорема 2.1. (Теорема Ферма) Если функция определена в некоторой окрестности точки, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и имеет в ней конечную производную или определенного знака бесконечную производную, то эта производная равна нулю.

Доказательство. Пусть функция определена в окрестности ( 0) точки 0 и принимает для определенности = 0 наибольшее значение, т.е. для всех ? ( 0) выполняется неравенство ( ) ? ( 0). Тогда если < 0,
( ) ? ( 0)
? 0,
(2.1)
? 0


а если	>  0, то
( ) ? ( 0)
? 0.
(2.2)
? 0


По условию теоремы существует конечный или определенного знака беско-нечный предел

lim
( ) ? ( 0)
=  ?( 0),
? 0
? 0


8

поэтому в неравенствах (2.1) и (2.2) можно перейти к пределу при ? 0. Соответственно получим ? ( 0) ? 0 и ? ( 0) ? 0. Эти неравенства выполняются одновременно лишь при ? ( 0) = 0. 

Замечание 2.1. В формулировке теоремы Ферма может показаться несоответствие. Хоть мы и говорим сначала о существовании беско-нечных производных, потом о равенстве производной нулю, на самом де-ле формулировка корректна: предполагается, что в точке существует производная (конечная или определенного знака бесконечная) и доказы-вается, что при выполнении дополнительного условия о достижении в рассматриваемой точке наибольшего (наименьшего) значения указанная производная равна нулю. Другими словами, доказано, что в точке, в ко-торой принимается наибольшее или наименьшее значение в некоторой ее окрестности значение функции, не может существовать ни конечная, ни равная нулю производная функции, ни определенного знака бесконечная производная.

   Геометрический смысл: если при = 0 дифференцируемая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на некоторой окрестности точки 0, то касательная к графику функции в точке ( 0, ( 0)) парал-лельна оси .

Замечание 2.2. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение при = 0 по сравнению с ее значениями в точках, лежащих по одну сторону от точки 0, и имеет в точке 0 соответствующую одностороннюю производную, то эта производная не всегда равна нулю.

   В пример можно привести функцию ( ) = , рассматриваемую на отрезке [0; 1]. Которая в свою очередь принимает при = 0 минимальное, при = 1 – максимальное значение. Но в одной и другой точке производная равна единице.

Теорема 2.2. (Теорема Ролля) Пусть функция непрерывна на отрезке [ ; ], имеет в каждой точке интервала ( ; ) конечную или определенного знака бесконечную производную, принимает равные значения на концах отрезка ( ( ) = ( )). Тогда существует хотя бы одна такая точка , < <  , что ?( ) = 0.


9

Доказательство. Если для любой точки	? ( , ) имеет место равенство

( ) =  ( ) =  ( ), то функция  является постоянной на данном интер-

вале и поэтому для любой точки ? ( , ) выполняется условие ? ( ) = 0. Предположим, что существует точка 0 ? ( , ), для которой выполняет-ся ( 0) ?= ( ) (возьмем ( 0) > ( )). Тогда по теореме Вейерштрасса о достижимости непрерывной на отрезке функцией своих наибольшего и

наименьшего значений существует такая точка ? [ , ], в которой при-нимает наибольшее значение. Получим

( ) ? ( 0) >  ( ) =  ( ).

Значит ?= и ?= . ? ( , ) и функция принимает в ней наибольшее значение. Таким образом, по теореме Ферма выполняется равенство

? ( ) = 0.






   Геометрический смысл: на графике функции, которая удовлетворяет условиям теоремы, имеется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

   Традиционными дифференциальными теоремами о среднем на отрезке являются теоремы Лагранжа и Коши.

Теорема 2.3. (Теорема Лагранжа) Если функция непрерывна на отрез-ке [ , ] и в каждой точке интервала ( , ) имеет конечную или определен-ного знака бесконечную производную, то в этом интервале существует, по крайней мере, одна такая точка , что

( ) ? ( ) =  ?( )( ? ).

Доказательство. Рассмотрим функцию

( ) =	( ) ?   .

Число определим так, чтобы ( ) = ( ), т.е. ( ) ? = ( ) ?   . Тогда

= ( ) ? ( ). ?



10

Функция ( ) непрерывна на отрезке [ , ], функция непрерывна на всей числовой оси (т.к. функция линейная). Значит, функция ( ) =

 ( ) ? непрерывна на отрезке [ , ]. Функция имеет в каждой точке интервала ( , ) конечную или определенного знака бесконечную производ-ную, а функция – конечную производную во всех точках числовой оси, поэтому их разность ( ) всюду на интервале ( , ) имеет конечную или определенного знака бесконечную производную. На концах отрезка [ , ], в силу выбора , функция принимает одинаковые значения. Поэтому

существует по крайней мере одна такая точка ( < < ), что ?( ) = 0. Тогда ?( ) = ?( ) ? , а значит ?( ) ? = 0. Подставив , получаем
?( ) = ( ) ? ( ). ?




Геометрический смысл: Пусть	= ( ,  ( )),	= ( ,  ( )) – концы гра-
фика функции  ,	– хорда, соединяющая эти точки. Тогда ( )? ( ) равно

?

тангенсу угла	между хордой	и осью	, т.е.

( ) ? ( ) = tg  . ?

А производная ?( ) равна тангенсу угла между касательной к графику функции в точке ( , ( )) и положительным направлением оси , т.е.


 ?( ) = tg . Из этого следует, что tg = tg . Теорема Лагранжа показы-вает, что в интервале ( , ) должна найтись хотя бы одна точка , в которой касательная к графику параллельна хорде .

Теорема 2.4. (Теорема Коши) Пусть функции f и g:

1) непрерывны на отрезке [ , ];

2) имеют производные в каждой точке интервала ( , );

3) ? ?= 0 во всех точках интервала ( , ).
Тогда существует такая точка  ,	<	< , что

( ) ? ( )
=
?( )
.

( ) ? ( )






?( )


   Из условий теоремы следует, что формула имеет смысл, т.е. ( ) ?= ( ). Если ( ) = ( ), то функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, а значит, найдется такая точка , что ?( ) = 0, < < , что противоречит условию 3).


11

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию


( ) =  ( ) ?  ( ),

где число	такое, что	( ) =	( ), т.е.	( ) ?	( ) =	( ) ?	( ). Значит

= ( ) ? ( ). ( ) ? ( )


Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, а значит, су-ществует такая точка , < < , что ?( ) = 0. Так как ?( ) =
?( ) ?  ?( ), то  ?( ) ?  ?( ) = 0. Выразим  и получим

    ?( ) =  ?( ) .


Таким образом, получили формулу, называемую формулой конечных при-ращений Коши:
( ) ? ( )
=
?( )
.

( ) ? ( )






?( )












































12

§2. Интегральные теоремы о среднем на отрезке


Определение 2.2. Выражение вида
=  =  ( , ) =  ?  ? 



( )





1























называется средним значением функции	( ) на отрезке [ , ].

Где величина	?  является длиной (мерой) отрпезка [ ; ].

   Надо дать определение среднего значения не только для отрезка, но и для набора отрезков.

Вспомним основные свойства определенных интегралов, получаемые,

в основном, путем предельного перехода для аналогичных свойств инте-гральных сумм (подробнее можно найти в [1]).

1) (Ориентированность интеграла) Если функция ( ) интегрируема от до , то она интегрируема и от до и имеет место равенство

 
? 	? 
( )	= ?	( )  .

 

2) (Аддитивность интеграла) Пусть функция ( ) интегрируема на от-резке, содержащем все точки  ,  , . Тогда имеет место равенство





? 
( )   = ? 
( )   + ? 
( )  ,

независимо от расположения точек  ,  , , и все указанные выше ин-тегралы существуют.

3) (Однородность интеграла) Если функция ( ) интегрируема на от-резке [ , ], то функция ( ) также интегрируема на этом отрезке и имеет место равенство




? 
( )   =  ? 
( )  .

4) (Линейность интеграла) Если функции ( ), ( ) интегрируемы на отрезке [ , ], то функции ( ) ± ( ) также интегрируемы на этом


13

отрезке и имеет место равенство





? 
[ ( ) ± ( )]   = ? 
( )   ± ? 
( )  .
5) (Монотонность интеграла) Если функции ( ), ( ) интегрируемы на отрезке [ , ], где < , и на нем ( ) ? ( ), то выполняется нера-
венство

? 





( )   ? ? 
( )






В частности, если   ? ( ) ?  , то


( ? ) ? ? 




( )   ?  ( ? ).


6) Пусть функция ( ) интегрируема на отрезке [ , ] и < , тогда на нем интегрируема также функция | ( )| и выполняется неравенство



?
? ? 


? ? 
( )


| ( )|  .

?


?



?


?



?


?



Из монотонности интеграла легко получается первая теорема о среднем:

Теорема 2.5. Теорема о среднем значении. Пусть функция ( ) интегри-руема на отрезке [ , ] ( < или < ) и на всем отрезке выполянется условие ? ( ) ? , тогда

? 
( )	=	( ? ),


где	?	?	— некторая точка.

Доказательство. Если	< , то по свойству определенного интеграла


( ? ) ? ? 
( )   ?  ( ? )






Разделим неравенство на ( ? ) и получим

?  ?  ? 



( )   ?  .

1












14

Введем обозначение
=  ?  ? 



( )

1











и получим искомое равенство. Если < , рассуждая аналогично, по свой-ству определенного интеграла получаем

? 
(  ? ) ?	( )	?	(  ? ).


Разделим полученное неравенство на (  ? ):








?

1

? 
( )   ?  .



?












По свойству определенного интеграла имеем право поменять местами пре-делы интегрирования:





( )   ?  .

?  ? ? 


1













Сделав аналогичную замену,



1

? 





( )  ,

=






?





получим искомое равенство.


   Если функция ( ) непрерывна, если считать, что и наимень-шее и наибольшее значения функции (которые существуют по теореме Вейерштрасса), то существует –– промежуточное значение (по теореме Больцано-Коши), принимаемое функцией ( ) в некоторой точке c отрезка [ , ]. Таким образом,

? 
( )	= ( ? ) ( ),


где	? [ , ] — некоторая точка.




15

   Практический смысл этой теоремы состоит в том, что среднее значение функции заключено между ее минимальным и максимальным значения-ми, и для непрерывной функции является реальным значением функции в какой-то промежуточной точке отрезка.

   Геометрический смысл заключается в следующем. Пусть ( ) ? 0. Рас-смотрим криволинейную фигуру под кривой = ( ). Тогда пло-щадь этой криволинейной фигуры, которая выражается определенным ин-тегралом, равна площади прямоугольника с тем же основанием и средней ординатой , являющейся высотой.

Проверим, все ли условия теоремы являются необходимыми. Пример 1. Пусть задана функция ( ) = . Требуется найти ее сред-

нее значение на множестве	= [0; 1] ? [2; 3].

Решение.

1 3
= 2
( 
? 
+ ? 

)  = 2
( 
2
? 2 + 2
) 
=
2.



1

0
2

1

1
9


3



























































   Вывод. Найденное среднее значение не принадлежит данному множе-ству, поэтому связность отрезка является важным условием, чтобы среднее значение функции было ее реальным значением.

Пример 2. Пусть функция  ( ) задана следующим образом:


1,	?[1;2],
( ) =
2,	?(2;3].

Тогда ее среднее значение равно

2 3
= 2
( 
? 
+ ? 
2
)  = 2
( 
2 ? 1 + (6 ? 4)) 
=
2.



1

1
2

1



3

















































   Таким образом, на отрезке [1; 3] среднее значение функции не прини-мается ни в одной точке.

Вывод. Непрерывность функции тажке является важным условием, чтобы среднее значение функции было ее реальным значением.

Теорема 2.6. Обобщенная теорема о среднем значении. Пусть 1) ( ) и ( ) интегрируемы на отрезке [ , ];


16

2) ? ( ) ?  ;

3) ( ) на всем отрезке не меняет знака:  ( ) ? 0 [ ( ) ? 0].

Тогда
 
? 	? 
( ) ( )	=	( )  ,

 

где	?	?	.

Доказательство. Возьмем  ( ) ? 0 и	< . Получаем неравенство

( ) ?	( ) ( ) ?	( ).

В силу свойств определенного интеграла получаем





? 
( )   ? ? 
( ) ( )   ?  ? 
( )  .

Так как мы взяли  ( ) ? 0, то

? 
( )	? 0.


Если этот интеграл равен нулю, то, очевидно, что

? 
( ) ( )   = 0.



Тогда теорема доказана. Если же он больше нуля, то, разделив на него полученное выше двойное неравенство, введем






? 
( ) ( )
=






? 
( )

и получим искомое равенство. В случаях, когда > или ( ) ? 0, от перестановки предела или изменения знака ( ) равенство не нарушается.









17

   Если ( ) является непрерывной функцией, имеет место следующая запись этой формулы:

 
? 	? 
( ) ( )	=	( )	( )  ,

 

где	? [ , ].

Теорема 2.7. (Вторая теорема о среднем значении) Пусть f(x) – непре-рывная функция, ( ) – монотонная непрерывно дифференцируемая функ-ция на отрезке [ , ]. Тогда найдется такая точка ? [ , ], что





? 
( ) ( )   =  ( ) ? 
( )   +  ( ) ? 
( )  .

Доказательство. Пусть функция ( ) – возрастающая на отрезке [ , ]. Введем функцию ?( ) = ( )? ( ), ? ? , которая является неотрица-тельной возрастающей непрерывно дифференцируемой на данном отрезке. В силу обобщенной теоремы о среднем значении найдется такое ? [ , ], что

 
? 	? 
?( ) ( )	= ?( )	( )  .

 

Подставляя введенную нами функцию ?( ) =  ( ) ? ( ), имеем











? 
( ( ) ? ( )) ( )   = ( ( ) ? ( )) ? 
( )  .
Применяя свойства определенных интегралов, получаем










? 
( ) ( )   =  ( ) ? 
( )   ? ( ) ? 
( )   +  ( ) ? 
( )   =











=  ( ) ? 
( )   +  ( ) ? 
( )  .








18

ГЛАВА 3 Приложения к теоремам о среднем

§1. Приложение к теории функции комплексного переменного


   Теоремы о среднем имеют важные приложения в теории функций ком-плексного переменного [5]. Рассмотрим функцию комплексной переменной

=	( ) =  ( , ) +	( , ).

Запишем ее приращение в виде

=	( ) =	( 0 +	) ? ( 0).

Определение 3.1. Если существует предел отношения при ? 0, то этот предел называется производной функции = ( ) в точке 0.


Обозначается
?( 0) = = lim. ?0



Определение 3.2. Функция комплексной переменной = ( ), опреде-ленная в точке и ее окрестности, дифференцируема в этой точке, если ее приращение может быть представлено в виде

( ) =	?( )	+ (	)   ,

где (	) ? 0 при	? 0.

Определение 3.3. Функция комплексной переменной, дифференцируемая

в данной точке и ее окрестности, называется аналитической функцией

в этой точке.

Определение 3.4. Функция, аналитическая во всех точках области, на-зывается аналитической в этой области.

   Пусть функция = ( ) – аналитическая в связной области , точка 0 – центр окружности радиуса , ? , 0 ? . Согласно интегральной формуле Коши


2
( )  ,

( 0) = 2  ? 0


1












19

учитывая, что	=	, где	– элемент дуги окружности, имеем:
( 0) = 2   ? 
( )  .

1














   Анализируя полученную формулу, получаем, что значение в центре круга функции, аналитической в круге, равно ее среднему значению на окружности — границе круга.

   Аналогичное утвреждение можно сделать отдельно для действительной и мнимой части, поскольку из интегральной формулы мы также имеем
( 0) =
2   ? 
( )  ,

1






( 0) =
2   ? 
( )  .

1








Следствие 3.1. (Принцип максимума модуля)

Для функции, аналитической в замкнутом круге, выполняется принцип максимума модуля, т.е.

| ( 0)| ? max{| ( )| : | ? 0| =  }.

   Так как ( ; ) и ( ; ) — гармонические функции, имеет место еще одно следствие.

Следствие 3.2. (Принцип максимума для гармонической функции) Среднее значение функции, гармонической в замкнутом круге, не превос-ходит ее максимального значения на границе круга.

Принцип максимума можно распространить с круга на любую область.






















20

§2. Принцип Дирихле


   Одним из сильных и притом кажущимся элементарным приемов дока-зательства является так называмы принцип Дирихле. Его традиционная формулировка обычно дается на примере кроликов в клетках: если число кроликов больше числа клеток, в одной из этих клеток сидит более одного кролика. То есть если есть ящиков и + 1 кроликов, размещенных по этим ящикам, то в каком-то ящике окажется не меньше 2 кроликов.

   Принцип Дирихле можно сформулировать в терминах теоремы о сред-нем для дискретного случая: если предметов собраны в групп, то сред-нее число предметов в группе равно . Если оно больше , то в какой-то группе окажется не менее + 1 предметов.

   Сначала приведем тривиальный пример использования принципа Ди-рихле:

   Пример 1. Группа из 25 человек сдала экзамен. Найти, сколько чело-век гарантированно получат одинаковую оценку.

Решение. Оценки могут быть 2, 3, 4, 5. Значит, 254 = 6.25

— среднее число человек на одну оценку. Это означает, что не не более 6 человек получат какую-то одинаковую оценку, а также не менее 7 человек получат какую-то (другую) одинаковую оценку.

   Приведем пример использования принципа Дирихле для доказатель-ства серьезных и неочевидных теорем в теории чисел [6].

Теорема 3.1. Для любого действительного числа и любого натураль-ного числа существует такая дробь , что 1 ? ? и | ? | ? 1 .

Доказательство. Возьмем единичный промежуток [0; 1) и разобьем его на

равных малых промежутков вида   ?  <  +1 ,  = 0, 1, . . . ,   ? 1.


   Рассмотрим дробные части чисел { }, = 0, 1, . . . , . Таких чисел получается + 1.
   Значит, согласно принципу Дирихле, найдутся два числа, скажем, { 1} и { 2}, принадлежащих какому-то одному и тому же малому промежутку. Тогда, считая, что второе число не больше первого, получим
1
0 ? (	1 ? 1) ? (  2 ? 2) ?



21

1
0 ?	( 1 ? 2) ? ( 1 ? 2) ?	.


Положив	=  1 ? 2,	=  1 ? 2, имеем:

0 ?	?  < 1 .


А так как 0 ? 1, 2 ?	, то ?	? 1 ? 2 ?	. Взяв модуль, получаем

1 ? | | ?  и



1



|  ? | ?

.









Поделив на  , получаем необходимое неравенство:

? ?
? ?   .

?

?
1



?

?





?

?
























































22

§3. Теорема Блихфельдта


   В данном разделе измеримость и интегрируемость можно понимать по Лебегу (см. [4]). Непрерывным аналогом принципа Дирихле может слу-жить следующая теорема.

Теорема 3.2. Пусть на множестве с мерой задана измеримая фукн-ция ( ). Тогда существует такая точка ? , что ( ) ? .


   Иными словами, найдется точка, в которой значение функции будет не меньше ее среднего значения. Отметим, что если функция достигает своего максимального значения, то теорема тривиально слуедет из преды-дущих результатов. Если же максимальное значение не достигается, то при очевидности утверджения, его доказательство представляет собой нетри-виальну задачу.

Доказательство. Если существует  , для которого выполняется, что  ( ) >

, то теорема доказана.


   Теперь допустим, что для всех выполняется неравенство ( ) ? . Тогда


? 











( )   ?  (  )
















Возьмем множества

{  :  ( ) ?  ?  }  ,


=


Тогда







1





























( )   = ? 





? 



? 

( )   +



( )   ?







?




? (  )
(  ?  ) 
+  ( (  ) ? (  ) =




1

























1

=	(  ) ?	(	).


Но с другой стороны
? 

( )	=	(  ),





23

значит
1

(  ) ?	(  ) ?	(	).


Следовательно,
1
(	) ? 0 =?	(	) = 0.


Можно заметить, что

1 ?	2 ? . . . ?	? . . .

Рассмотрим объединение	:

? 

=	= { :	( ) <	}.

Значит, мера этого множества меньше или равна сумме мер , то есть равна нулю.

То есть, для почти всех справедливо неравенство ( ) ? . Получили противоречие, так как мы брали те , для которых ( ) ? .

Таким образом, в этом случае для почти всех выполняется ( ) = . Следовательно, такие существуют. 

   Аналогично можно доказать, что найдется точка, в которой значение функции будет не больше среднего значения.

Теорема 3.3. Пусть  ( ) измерима на R и существует интеграл

+?
? 
I =	( )  .

??

Рассмотрим функцию

?
? 
( ) =	(  +  ).

=??

Тогда существует такое	, что	( ) ? I.

   Примечание. Функция ( ) может принимать бесконечные значения, в таком случае утверждение теоремы тривиально.






24


Доказательство. Интегрирование по прямой можно разбить на интегри-рование по отрезкам, т.е.


+?

+1
? 
( )   =
=?
? 
( )
??

? 




??















































































=  +  ,
1
1

? 
? 









































































=	?	?	+ 1,	=	( + )	=	( )  .







































































0 ?  < 1.
0
0







1 +?
? 	? 

( ) =	( )	=	( )	= I.

0 ??

1
? 
Поскольку	( )	— среднее значение функции	на единичном от-
0

резке, согласно предыдущей теореме существует такое , что ( ) ? I, что и доказывает теорему. 

Теперь рассмотрим многомерный случай.

   Пусть в R даны линейно независимые векторы ? 1, ? 2, . . . , ?  , — объ-ем параллелепипеда, построенного на этих векторах. Также пусть дана интегрируемая функция (? ) , т.е. существует

? 
(? )	= I.

R

Рассмотрим функцию

?
??


1,...? 

+ . . . +)

( ) =
(?  +  1  1


,  =




Интеграл по всему пространству будет равен интегралу по указанному вы-ше параллелепипеду, т.е.

? ? 	? 
(? )	=	(? )	= I.

R

Значит, объем единичного куба умноженный на среднее значение равно нашему интегралу, т.е. = I.

Следовательно, существует точка  , в которой

                                               ( ) ? I .



   Следствием данной теоремы явялется теорема Блихфельдта [7]. Для ее формцулировки введем определение:

25

Определение 3.5. Решеткой назовем множество точек вида

= { 1  1 + . . . +| 1, . . . ,   ? Z}.

Тогда будем говорить, что векторы и сравнимы по модулю этой решетки ( ? (mod )), если ? ? , т.е. = + 1 1 +. . .+ . Объемом решетки называтся объем описанного выше параллелепипеда.

Теорема 3.4. (Теорема Блихфельдта) Пусть в пространстве дана ре-шётка объема ( ) и тело объема ( ). И для целого числа выполняется

< ( ). ( )


Тогда тело можно сдвинуть таким образом, что оно будет содер-жать не менее + 1 точек решётки.

Доказательство. Рассмотрим характеристическую функцию этого тела:

( ) =

1,  ?  ,


0,  /  .


?
? 
Тогда	( ) =	( ) — это количество точек, попадающих в сдвинутую

область	?	(сравнимых с	по модулю решетки).

   Согласно предыдущей теоерме найдется значение этой функции, не меньшее, чем ( ) — ее среднего значения, то есть, существует такое рас-

(  )

положение тела , которое содержит указанное количество точек вида 1 1, . . . , . А поскольку это число — целое, то оно должно быть не меньше, чем + 1 . 

   В качестве иллюстрации этой теоремы обычно рассматривается следу-ющая задача: докажите, что расположенную на плоскости произвольную фигуру площади можно параллельно перенести так, чтобы в нее попа-ло не менее точек этой фигуры с целочисленными координатами (такие точки образуют решетку единичной площади).










26

ЗАКЛЮЧЕНИЕ






   В данной работе были проанализированы различные теоремы о сред-нем (дискретные, дифференциальные, интегральные), а также их важные приложения ко многим областям математики — математическому анализу, теории функций комплексного переменного, теории меры, теории вероят-ностей, теории чисел и геометрии чисел.


























































27

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ







1. Фихтенгольц, Г.М. Т. 1 : Основы математического анализа : Учеб. для вузов / Г. М. Фихтенгольц . – 6. изд., стер . – Санкт-Петербург и др. : Лань, 2005 . – 440 с. : ил., граф. – На рус. яз.

2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функци-онального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 572 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, 9-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2003. - 479 с

4. Теория функций действительного переменного: Учебное пособие/Бы-

кова О.Н., Колягин С.Ю., Кукушкин Б.Н. - М.: КУРС, НИЦ ИНФРА-

М, 2016. - 196 с.: ISBN 978-5-905554-21-6

5. Колягин С.Ю. Теория функций комплексного переменного М.: изд-во МПГУ, 2009 – 222с. (гриф МОиН).

6. Нестеренко Ю.В. Теория чисел: Учебник для студентов высших учеб-

ных заведений. — М.: Академия, 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.

7. Касселс, Дж. В. С. Введение в геометрию чисел / Дж. В. С. Касселс ; пер. с англ. А. Н. Андрианова и И. В. Богаченко; под ред. А. В. Малышева .— М.: Мир, 1965 .— 421 с.





























28
.......................