Векторный метод в стереометрии

С. А. ШЕСТАКОВ











ВЕКТОРЫ

НА ЭКЗАМЕНАХ


Векторный метод в стереометрии























Москва

Издательство МЦНМО

2005

УДК 514.742

ББК 22.151.0

Ш52


Шестаков С. А.

Ш52	Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии.— М.: МЦНМО, 2005.— 112 с.: ил.

ISBN 5-94057-203-0

    В пособии изложены методы решения основных типов задач по стереометрии. Это задачи на вычисление отношений, в которых секущая плоскость делит ребра многогранника, вычисление расстояний от точки до прямой и плоскости, расстояний
и углов между скрещивающимися прямыми, задачи на комбинации многогранников

и тел вращения. Приводятся необходимые теоретические сведения, основные алго-ритмы, базирующиеся на свойствах векторов и проиллюстрированные примерами,

и задачи для самостоятельного решения, отобранные из вариантов вступительных экзаменов в вузы и ЕГЭ.

    Пособие предназначено старшеклассникам, абитуриентам, учителям матема-тики.

ББК 22.151.0



























ISBN 5-94057-203-0


























©  Шестаков С. А., 2005

©  МЦНМО, 2005



Г Л А В А	1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ  СВЕДЕНИЯ



§ 1.1. Основные определения

   Определение вектора в пространстве ничем не отличается от опреде-ления вектора на плоскости.

Определение 1.  Вектором называется направленный отрезок, т. е.
отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является на-
чалом, а какая —
концом.



#   #
#



a , AB и т. п. и на
Так же как и на плоскости, векторы обозначаются

чертеже изображаются стрелкой.


#
называется длина
Определение 2. Длиной (или модулем) вектора AB

отрезка AB, а направление, определяемое лучом [AB), называется направ-
лением вектора AB# .
# 
#
# 
#
#  Длина вектора
a  обозначается






|a |, длина вектора AB обозначается
|AB|.
# 
# 









    Любая точка пространства также считается вектором, который назы-вается нулевым. Начало такого# вектора# совпадает с его концом, а длина равна нулю. Обозначения нулевого вектора: AA, 0 .

    Определение 3. Векторы a и b называются коллинеарными, если# они# лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

   Если ненулевые векторы AB и CD лежат на параллельных прямых (следовательно, в одной плоскости), причём лучи [AB) и [CD) лежат в од-

ной полуплоскости, границей которой является прямая AC, то векторы AB

и CD называются сонаправленными; в случае же, когда эти векторы при-надлежат одной прямой, они называются сонаправленными, если один из лучей [AB) или [CD) целиком содержится в другом. Нулевой вектор будем считать#  сонаправленным# #  с любым вектором#  в # пространстве# . # 

    Ясно, что сонаправленные векторы, в силу их определения, коллинеар-ны. Если два коллинеарных вектора не сонаправлены, то они называют-ся#  противоположно направленными. Обозначения остаются обычными: a ?? b (векторы a и b сонаправлены), a ?? b (векторы a и b противо-положно направлены).
    
4
# Определение# 
# 
# 
# 
# 


Гл. 1.  Теоретические сведения


и

4. Векторы a и b называются равными, если |a | = | b |

a ?? b  (т. е. если векторы сонаправлены и их длины равны).



   Теорема 1. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

   Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответству-ющей планиметрической теоремы.






#
# 
§ 1.2. Операции над векторами и
их свойства
#
# 


#



Операции над векторами в пространстве аналогичны соответствующим
# 
# 

# 
# 



операциям на плоскости.


. В силу теоремы 1 от произвольной
Пусть даны два вектора
a
и b



# 
# 

# 
# 

точки A пространства можно отложить вектор AB =  a , а от точки B —

вектор BC = b . Тогда вектор AC называется по определению суммой векторов a и b , а описанное правило построения суммы двух векторов — правилом треугольника (рис. 1).
   Теорема 2. Сумма a + b векторов a и b не зависит от выбо# -ра точки A, от которой при сложении откладывается вектор a . (Докажите эту теорему самостоятельно.)

точек A, B, C пространства выполняется## #равенство

AB + BC = AC.
Правило треугольника можно сформулировать и так: для любых трёх
    Кроме того, сумму двух неколлинеарных векторов#  с # общим#  началом#  можно построить и по правилу параллелограмма: a + b = c , где c —
вектор, модуль которого равен длине диагонали параллелограмма, постро-



# 

# 

# 

# 





# 
и b , причём вектор c откладывают от той же точки,
енного на векторах

a

что и векторы a и b (рис. 2).

Все с в о й с т в а
о п е р а ц и и с л о ж е н и я в е к т о р о в, справед-
ливые на плоскости, остаются справедливыми и в пространстве:
1)
a + 0 = a ;

# 



2)
# 
# 

# 



—
коммутативность (переместительный закон);

a + b =  b + a



3)
# 
# 

# 


# 
# 
# 

(a
+  b)
+  c

=  a
+ (b
+  c ) —  ассоциативность (сочетательный
закон).

# 








Здесь
# a,
b
, # c —
произвольные векторы в пространстве.

   Определение 5. Два ненулевых вектора называются противополож-ными, если их длины равны и эти векторы противоположно направлены.
   

# 

§ 1.2.  Операции над векторами и
их свойства
# 


5










# 


# 
# 



# 
# 

# 


# 





Вектор, противоположный данному ненулевому вектору  a , обозначает-
ся (?a).











# 
и
# 
называется век-

Определение 6. Разностью двух векторов
a

b

тор c такой, что его сумма с вектором b равна вектору a .





Разность # векторов# 
# a  и b
# обозначается# # 
a ? b . Таким образом, по
определению c
= a ?# b , если# 
a =  b + c .




# 


# 
# 
# 

Разность векторов a и b можно найти по формуле

a
? b
= a
+ (? b )

(рис. 3) (докажите эту формулу самостоятельно).











B




























B
C

























??






??















a






a


















??


??

??
















c


c

a






??





















c



















??
















C


a


















A











??






??

b












b






(? b )

??




























??






??




??







b



?? ??



?? ??





A





D

c
= a
? b


c  = a
+ (? b )





















Рис. 1




Рис. 2







Рис. 3



   Замечание. Так же как и на плоскости, для сложения нескольких векторов в пространстве можно использовать правило многоугольника (рис. 4), только в последнем случае этот многоугольник будет простран-



A4 

??a3





A2


??

A3


a 3



??



A1

a 2






??





a 2








??

??



a n

a 1





??




a
1








An
An?1




??





a n


??
??
??
???? ????   ??????
????

a 1
+ a 2
+ ... + a n
A1 A2 + A2 A3 + ... + An?1 An = A1 An

Рис. 4

ственным (т. е. не все векторы, его составляющие, лежат в одной плос-кости). Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от порядка слагаемых.

6	Гл. 1.  Теоретические сведения


Умножение (произведение) вектора на число и его свойства, так же
как и свойства операции сложения, не претерпевают изменений и в про-
странстве.










#
на действи-
Определение 7. Произведением ненулевого вектора a








#





тельное число k называется вектор b , длина которого равна произведению
длины вектора
#





#




a на модуль числа k, причём вектор
b сонаправлен с век-
#



> 0 и противоположно направлен вектору
#
при k < 0.
тором a при k

a

#   Таким#
образом, по определению,##
#
#
#


#


b
= k · a , если
| b | =
|k| · |a |, причём##
b  ?? a
при k >  0 и #b
??#  a  при k <  0. Ясно,#
#что векторы##  a  и  b
коллинеарны. Если же a =  0 или k = 0, то k · 0 =
0 и 0 ·
a =  0 .
С в о й с т в а  у м н о ж е н и я  в е к т о р а  н а  ч и с л о не отличают-
ся от аналогичных свойств на плоскости:







#
= k ·

#







1) (k ·#l) · #a

#(l · a) #—  ассоциативность (сочетательный закон);
2) k·(a + b) = k· a +k· b  — дистрибутивность относительно сложения
векторов (1-й распределительный закон);




3) (k + l)
·
#
= k ·
#

#








a

a + l
· a — дистрибутивность относительно сложения
чисел (2-й распределительный закон).





Здесь
#
и
#
произвольные векторы, k и l —  произвольные дей-

a

b  —

ствительные числа.









#   Справедлива также и лемма о коллинеарных векторах: если векторы
#



#
#









a и b
коллинеарны и a 6=
0 , то существует такое действительное число k,
#


#


|# b|
, если
#

#

|# b|
, если
#

#
что b
= k
·
a
(ясно, что k
=


a
??
b ; k =



a
??
b).






| a |



?| a |




Сформулируем и докажем ещё одну важную для решения некоторых
задач теорему.
#
#



















Теорема 3. Пусть AM = k ·
MB, где k —  некоторое действитель-
ное число, отличное от ?1, тогда точки A, M, B принадлежат од-
ной прямой. Для произвольной точки O пространства справедливо
равенство:
#

#




#

#


1



k







OM =

· OA +


· OB.

(1)


k + 1

k + 1











#




Д о к #а з а т #е л ь с т в о. 1. Из равенства AM
=  k · MB
следует, что
векторы AM и MB коллинеарны, и так как M —  общая точка прямых AM
и MB, эти прямые совпадают, поэтому точки A, M, B принадлежат одной
прямой.











#
#2. Пусть# O #—  произвольная#
точка пространства.##
Тогда




AM# = OM# ?
? OA, #MB  =#
OB ? OM,# и поскольку#
AM#  =  k · MB, то
OM ? OA  =
= k · (OB ? OM), откуда OA + k · OB = OM · (k + 1). Поделив обе части последнего равенства на (k+1), приходим к формуле (1). Теорема доказана.

§ 1.2.  Операции над векторами и  их свойства
7



Следствие 1. Если M — середина отрезка AB, то для любой точ-
ки O пространства справедливо#
#
#

OM =
1
(OA + OB)
(2)






2








(в данном случае k = 1, см. рис. 5).
#
#




    Следствие 2. Если точка M делит отрезок AB в отношении т. е. AM : MB = m : n#, то для любой точки O пространства

OM =
n
· OA +
m
· OB






m + n

m + n




mn ,



(3)








m









#




#






(в данном случае k =


, см. рис. 6).





































n





















Следствие 3. Если точки M и P делят соответственно отрезки
AB и CD в равных отношениях#
, т. е. AM : MB = CP : PD = m : n, то




#








n
#

#
m



#


#






MP =





· AC
+


· BD.



(4)
























m + n



m + n





В# самом деле, для любой точки O пространства в силу следствия 2


n
#

#
m
#

#
#
#

#
#


OM =



· OA

+




· OB,
OP =

n
· OC +

m
· OD.



















m + n




m + n



m + n


m + n



Вычтя из #последнего

соотношения предпоследнее и учитывая, что

MP = OP ? OM,

AC = OC ? OA,
BD = OD ? OB,


получим формулу (4) (рис. 7).
























O




A

M









D

























































B
























B







P

























M


































A





























M






















































A






B












O











C


Рис. 5













Рис. 6







Рис. 7



   Как видим, почти все определения и утверждения, рассмотренные вы-ше (за исключением, быть может, правила сложения нескольких векторов), аналогичны соответствующим определениям и утверждениям планиметрии, что, вообще говоря, вполне естественно: ведь любая плоскость принадле-жит пространству, и то, что справедливо на плоскости, остаётся справед-ливым и в пространстве.
   
8	Гл. 1.  Теоретические сведения


§ 1.3. Компланарные и  некомпланарные векторы

Следующее понятие уже не имеет аналога в планиметрии. Определение 8. Векторы называются компланарными, если лучи,

задающие их направления, параллельны некоторой плоскости. Замечание. Из определения 8 следует, что при откладывании от одной

точки векторов, равных нескольким данным компланарным векторам, по-лучим векторы, лежащие в одной плоскости. Таким образом, компланарные векторы лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
два не коллинеарны, являются# # компланарными.# 
   Очевидно, что любые два вектора компланарны и любые три вектора, два из которых коллинеарны, также являются компланарными (поясните). Рассмотрим теперь условия, при которых три вектора, из которых никакие

Теорема 4. Векторы a , b , c , из которых никакие два не колли-

неарны, являются компланарными в том и только том случае, если
существуют такие действительные# 
числа x и y, что


c
# 
# 
(5)


= x · a + y · b

(иными словами, векторы # a,
# 
, # c являются компланарными в том и толь-

b


ко том случае, если один из них можно выразить через два других, или, как говорят, разложить по двум другим).

кажем, что для них имеет место равенство (5). Отложим от произвольной
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть векторы
# 
# 
,
# 
компланарны. До-

a ,
b

c


# 
#

#

# 
#
#    #
C


#










точки O векторы OA =  a , OB =  b , OC =





=  c . Векторы OA, OB, OC лежат в одной плос-





#
#
#
#



l2

кости  (см. замечание). Проведём
через точ-





B        ку C прямую l1 k OB до пересечения с пря-






l1




мой OA в точке A1  и прямую l2 k OA до пе-





#
#

#   #




B1
ресечения с прямой OB
в точке B1
(см. рис. 8).





Так как векторы OA и OA1, OB и OB1  кол-
A1




линеарны, по лемме о коллинеарных векторах





(см. § 1.2)  существуют
такие
действительные






#   #   # 

A




числа# x и y, # что OA1 = x · OA
= x · a , OB1 =

O


# 
= y#·OB =# y· b . Но# по правилу# параллелограм# # -

Рис. 8

ма OC = OA1 + OB1, откуда c = x · a + y · b .


# 


2. Обратно, пусть выполнено равенство (5).





Докажем, что векторы a , b , c  компланарны.
Векторы x · a
и y
· b
при откладывании от одной точки определяют неко-

торую плоскость. Согласно правилу параллелограмма и равенству (5) век-



# 




§ 1.3.
Компланарные и  некомпланарные векторы


# 9



# c
#   #

#

#
#   #


следует, что векторы x ·


тор

принадлежит#
той же плоскости,## откуда#

a ,
y ·
b
и
c , а значит, и векторы
a , b ,
c , компланарны. Теорема дока-

#
#













#
#
зана.
















#   Отложим от произвольной точки O пространства векторы
OA =
a ,
OB =  b , OC

#

#
a ,
#
#

a





=  c
, где

b , c
—  три данных некомпланарных вектора,
#


#

#

#



c





и рассмотрим параллелепипед OADBCA1D1B1
, построенный на векторах
OA, OB, OC (рис. 9). Тогда сумму век-






торов
#a , b , c можно найти следующим

??
b







#
#








??



образом:  #a +  b +  c
=  OA + OB +
??
A












#
#
#








+ OC
= OD + OC
= OD1. Это правило

A1

D1













#







сложения трёх некомпланарных векто-













#

#
#
#






ров называется правилом параллеле-
C


B1


пипеда.

































Если векторы a , b , c не являются



D


компланарными и для вектора p имеет








#
#






· a + y · b + z · c ,



B


место равенство p = x







где x, y, z — некоторые действительные#
O







Рис. 9




числа, то говорят, что вектор p разло-






жен# по трём некомпланарным векторам







a ,
b ,
c , а числа x, y, z называются коэффициентами разложения.




Следующая теорема, называемая теоремой о разложении вектора

по трём некомпланарным векторам, является основной во всей эле-
ментарной (школьной) векторной алгебре.












Теорема 5.



#















Любой вектор p пространства можно разложить по








#
#
#









трём данным некомпланарным векторам a ,
b ,
c , причём коэффи-
циенты разложения определятся единственным образом.




#
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Если векторы
#
#
коллинеарны, то


p и
c

p
=
#
#
+ 0
#
#
, и теорема доказана.

#


#




= z · c
= 0 · a

· b
+ z · c



и


не кол-






2. Пусть векторы
p


c



P


линеарны. Отложим от произвольной






C
















#







точки O пространства векторы OA =












#
#

#
#

#
,

#


#





=  a ,
OB  =
b ,
OC  =
c


OP  =  p


B

l2
(рис. 10). Проведём через точку P пря-



P1
мую l1 k OC до пересечения с плоско-






P2




O




стью OAB в точке P1. Через точку P1




A
в
плоскости
OAB  проведём
прямую




l1
l2 k OB до пересечения с прямой OA

Рис. 10

в точке P2  (в частности, если P1 ? OB,





то
точка
P2
совпадает
с
точкой
O).








#
##

#


#



##
##

#
#
#
#
#

#
#
10



Гл. 1.
Теоретические сведения





Согласно правилу многоугольника OP = OP2 +P2P1 +P1P, но векторы OP2
и OA, P2P1 и OB, P1P и OC по построению коллинеарны, поэтому в силу
леммы# о коллинеарных##
векторах OP2 = x·OA = x· a , P2P1 = y·OB = y· b ,


#   #

, где#x, y, z# — некоторые действительные#
числа.#
Таким#
P1P = z ·OC = z · c



образом,#
#
#
#
#








учитывая, что OP = p , приходим к равенству p = x · a + y · b +
+ z · c .





#
по данным векторам

#   3. Докажем теперь, что разложение вектора
p

a , b , c единственно. Допустим, что это не так, т. е. существует ещё одно разложение# p = x1 · a +y#1 · b# +z#1 · c , в котором хотя бы один коэффициент
не равен соответствующему коэффициенту в полученном нами разложении.
Пусть, например,# z 6= z1. Вычтем#
последнее#
равенство#
из# предпоследнего.#
Тогда (x


x )














#


x ? x1




?

·
a + (y
?
y )
b + (z
?
z )
·
c =  0 , отсюда c =



a
?

? 1


1




1  ·




1





? z   z1 ·





·
b , т. е. векторы a , b ,
c компланарны, что противоречит условию
? z ? z1









#
#
#











теоремы. Значит, наше допущение о ещё одном разложении неверно, т. е.


















#
#
#






разложение вектора #p по данным векторам
#a ,
b , #c единственно. Теорема
доказана.


#
#
#






















#
#   #















#



вектор
#






можно
разложить по
трём данным

Любой

p

пространства





#   #








a , b , c , причём единственным образом. За-
некомпланарным векторам


?
y	y







данную тройку некомпланарных векторов a , b , c называют базисом, са-ми векторы a , b , c — базисными векторами, а разложение векто-ра# p по векторам a , b , c называют разложением по данному базису

a , b , c .
#	§# 1#.4. Координаты вектора
    Так же как# и #на плоскости,# в пространстве помимо координат точки вводятся координаты вектора. Рассмотрим# три попарно перпендику-

лярных# вектора## i , j , k , отложенных от некоторой# точки# O пространства,## таких, что | i | = | j | = |k | = 1 (например, их можно направить по рёбрам единичного куба). Эти векторы, очевидно, не являются компланарными###. Поэтому, в силу теоремы 5, любой## вектор# a можно разложить по векто-рам i , j , k , причём единственным образом: a = x0 · i + y0 · j + z0 · k# . Введём прямоугольную систему координат #с началом в точке# O так, чтобы направления осей Ox, Oy, Oz совпали с направлениями векторов i , j , k соответственно. Тогда векторы i , j , k называются единичными векто-рами осей координат, а числа x0, y0, z0 — координатами вектора a в системе координат Oxyz (обозначения: a = (x0; y0; z0); a (x0; y0; z0)).

§ 1.4.  Координаты вектора
11



   С в о й с т в а в е к т о р о в п р о с т р а н с т в а, з а д а н н ы х с в о - и м и к о о р д и н а т а м и, аналогичны соответствующим свойствам век-торов на плоскости:

   1. Два вектора равны в том и только том случае, если равны их коор-динаты.

2. Координаты суммы (разности) двух векторов равны суммам (раз-
ностям)# 
соответствующих
координат
этих
векторов,
т. е.  для  векторов
a (x1; y1
# 
(x2; y2; z2) получаем
# 
# 
± x2
; y1 ± y2; z1 ± z2).

; z1), b

a
± b
= (x1



# 

# 





3. При умножении вектора на число каждая его координата умножается
на это число, т. е. для вектора a (x0; y0; z0)
и действительного числа k
получаем k ·
a = (kx0; ky0; kz0).

# 
= x1 ·
# 
# 
# 
#   Докажем,# 
например,# # 
свойство 2. Так как
a


i
+ y1 · j + z1 · k ,
b = x2 · i +y2 · j +z2 · k , то,#  согласно# 
свойствам# 
сложения векторов# 
и умно# -
жения вектора#  на#  число, a ± b = (x1 ±x2) · i + (y1 ±y2) · j + (z1 ± z 2) · k , т. е. вектор a ± b имеет координаты (x1 ± x2; y1 ± y2; z1 ± z2), что и тре-бовалось доказать. Остальные свойства доказываются аналогично.

   Возникает естественный вопрос: каков «геометрический» смысл коор-динат вектора? Для ответа на поставленный вопрос введём понятия угла
между векторами и проекции вектора на произвольную ось l.
Назовём углом между лучами [OA) и [OB) угол AOB, не превосходя-
щий 180?.




# 




# 
# 







# 








Определение 9. Углом между двумя векторами a и b называется

# 

# 







a

не превосходящий 180?  угол между двумя лучами, имеющими общее на-
# 







# 
# 



??
# [













чало в произвольной точке пространства, направление одного из которых
[
?


#

# 
## 
A

??

совпадает с направлением вектора
a , направление


B
другого —  с направлением вектора b .
# 




??

Угол между векторами
a и

# 











b будем обозначать




a , b . Иными словами, угол между векторами a и b



b
равен углу AOB (AOB 6 180 ), где OA = a , OB =  b ,

??













a ,  b

O —   произвольная точка пространства  (рис. 11).

dO

Ясно, что угол между векторами a и
b  не зависит



от выбора точки O.

#




#


Рис. 11














Пусть теперь дан вектор AB и ось
l и пусть A1







#

#













и B1 —  основания перпендикуляров, опущенных на ось l из точек A
и B

соответственно. Точка A (или B) может лежать на оси l, и тогда A1 (или B1) совпадает с A (или B) (этот случай разберите самостоятельно).

   Определение 10. Проекцией вектора AB на ось l называется длина вектора A1B1, взятая со знаком «плюс», если направления вектора A1B1 и оси l одинаковы, и со знаком «минус», если эти направления противо-положны.
   
12
# Гл. 1.  Теоретические сведения
# 



# 
обозначать прl

# 

Проекцию вектора
a на ось l будем# 

a .
# 



# 



Назовём углом между вектором a  и осью l угол между вектором a

и произвольным ненулевым вектором оси l, направление которого совпа-дает с направлением оси l.


Теорема 6.
Проекция вектора a на ось l равна длине вектора a ,
умноженной на косинус угла между вектором a и осью l, т. е.






# 
# 
# 


#


(6)




прl a
= |a | · cos(a , l)











вектор
# 



—

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дан

a
= AB и пусть A , B
1



d



1


основания перпендикуляров, опущенных из точек A и B соответственно


B

на ось l (рис. 12). Будем считать, без огра-









# 
?



??


ничения общности, что a , l 6
90 . Прове-

a


дём через точку A1 прямую p
AB (точка A1






A
p

может лежать на прямойdABk
—  этот слу-



чай разберите самостоятельно). Так как пря-


B2






мые p и AB параллельны, они лежат в одной









плоскости. Проведём в этой плоскости через




точку B прямую, параллельную прямой AA1

A1
B1
l





и пересекающую прямую p в точке B2. Тогда

Рис. 12





A1ABB1  по построению —  параллелограмм




(однако так будет не всегда — поясните). Из


определения угла между векторами и проведённого построения следует, что
# 

\
#\
#\
?




a
, l = B2A1B1
; B2B, l = A1A, l = 90 . Таким образом, прямая l перпен-
дикулярна прямым BB1 и BB2 и, значит, в силу признака перпендикуляр-
ностиd
прямой и плоскости, перпендикулярна плоскости BB2B1. Поэтому




\

# 
# 
# 
l ? B2B1 и |A1B1| = |A1B2| · cos B2A1B1 = |AB| · cos(a , l) =
|a | · cos(a , l),
что и требовалось доказать.



«геометричеd-

Теперь мы уже вплотную приблизились к определениюd

ского»  смысла координат вектора.


# 



Теорема 7. Координаты x0, y0,






z0  вектора  a  равны проекциям
этого вектора на оси Ox, Oy, Oz соответственно.
#
# 











Д о к а з а т е л ь с т в о. Отложим от начала координат вектор OD
= a .




# 
и
#
будут равны и их координаты.
Тогда в силу равенства векторов a

OD

Проведём через точку D три плоскости, параллельные координатным плос-
костям и пересекающие оси Ox, Oy, Oz в точках A, B, C соответственно
(рис. 13). Тогда по правилу параллелепипеда # a
#
#

#
#

= OD
= OA
+ OB + OC.
Так как#  векторы# 
#
# 
#
# 
#
# 

# 


# 

OA и
i
, OB и
j
, OC и
k коллинеарны и a = x0 ·
i +
+y0 · j + z0 · k , в силу единственности разложения# вектора# по #трём
неком# -
планарным векторам (теорема 5) получим, что OA = x0 · i , OB = y0 · j ,



# 












#




§ 1.4.

#

#
#



13



#

Координаты вектора










# 
#











OC# =#  z0 · k . Поскольку параллелепипед, построенный на векторах OA# ,
OB, OC, является в данном случае прямоугольным, проекции вектора a
на оси Ox, Oy, Oz равны величинам#  |OA|, |OB|, |# OC|, взятым с# опреде-
лёнными знаками . Обозначим прOx a = OA, прOy a
= OB, прOz a
= OC.
В силу # того,# что OA =# x0 · i , OB =
z








D
=  y0 ·
j # , OC =# z0 ·
k , и так как






??a
















|#i | =  | j | = #|k | =  1, получаем#
C










|OA| =  |x0|, |OB| =  |y0 |, |OC| =


??

B






=# |z0|.
# Кроме того, если, например,


k








OA ??
i , то числа OA и# x0 оба#  по-
??


??






ложительны, если же OA ??
i , то
j













O

i

A
#
x










казана.
оба отрицательны,






# 



числа
OA и x0

y










поэтому OA  =  x0, и, аналогично,

















Рис. 13





OB =  y0, OC =  z0. Теорема до-













   Введём теперь понятие радиус-вектора точки. Вектор a = OD, где D — произвольная точка пространства, а O — начало координат, назы-
вается радиус-вектором точки D. Из теоремы 7 легко следует, что ко-
# 




ординаты радиус-вектора точки D
совпадают с координатами (x0
; y0; z0)
самой точки D. Кроме того, так как квадрат диагонали прямоугольного

# 
# 

параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его сторон, то

|a | = q

.



x02 + y02 + z02


(7)
Если обозначить углы, образованные вектором # a с осями Ox, Oy, Oz
через#   a, b, g соответственно, то x0  =  |a | ·
cos a, y0  =  |a |
· cos b, z0  =
= |a | · cos g. Косинусы# 
этих углов называются направляющими косину-
сами вектора a . Из формулы (7) и последних соотношений легко получить,
что













cos a =

x0
,
cos b =

y0

,
cos g =


z0
,















qx02 + y02 + z02


qx02 + y02 + z02

q
x02 + y02 + z02

откуда, возводя в квадрат и складывая, найдём, что








cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1.




Пусть теперь дан произвольный вектор
#
и известны координаты

AB

(x1, y1
, z1) его начала —  точки A и координаты (x2, y2, z2) его конца —

#
#
#
#
#
точки B. Тогда AB
= OB
? OA, но координаты радиус#
-векторов OA
#и OB
совпадают с координатами точек A и B, поэтому OB = (x2; y2; z2),
OA =
= (x1;
#

? x1; y2 ? y1; z2 ? z1). Таким образом, коорди-

y1; z1) и AB = (x2

наты вектора равны разностям соответствующих координат его

14


Гл. 1.  Теоретические сведения










конца и начала. В этом случае





#








q(x2 ? x1)2 + (y2 ? y1)2 + (z2 ? z1)2.
(8)

|AB| =


Формула
(8)  позволяет  определять  расстояние
между
точками
A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2) по их координатам.




§ 1.5. Скалярное произведение векторов и
его свойства
Определение скалярного произведения векторов
# 

# 


a
и  b  в простран-
стве ничем не отличается от аналогичного определения для векторов# #  на плоскости.

Определение 11. Скалярным произведением векторов a и b на-
зывается произведение длин этих векторов на косинус угла между ними
# 
# 

образом, по определению,

(обозначение: a
· b). Таким# 




# 
# 
# 


# 



a · b

| · | b

# [
(9)



= |a

| · cos(a ,
b).






# 

# 

Теорема 8. Два ненулевых вектора a и  b  взаимно перпендику-
лярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение рав-
но нулю, т. е.





# 
# 
# 

?
# 
# 
# 


# 2

a# 



a ? b


a ·
b = 0.

по





# a · a# .


# 




#  2


Доказательство этой теоремы вытекает из формулы (9).












# 


?# 2



Определение 12.  Скалярным квадратом вектора  a  называется
скалярное
произведение
# a
a . Скалярный квадрат обозначается # a2, т. е.



# 2
=
# 
# ·










определению














Так как a
= a ·
a = |a | · |a | · cos 0 = |a | , то










?# 2

# 















a .
(10)





# 


# 

|a
| =




















# 

Таким образом, длина вектора равна квадратному корню из его ска-
лярного квадрата.














Замечание.   Скалярное произведение есть  число, поэтому  грубой
ошибкой явилась бы запись:




= a .





a




# 
Если  векторы
a

и
b  заданы  своими  координатами:
a (x1; y1; z1),
b (x2
; y2
; z2), то скалярное произведение может быть выражено через их
координаты.
# 



Теорема 9. Скалярное произведение векторов равно сумме про-
изведений их соответственных# 
координат, т. е.

#
a · b = x1
· x2 + y1 · y2 + z1 · z2.
(11)

# 
#
# 


   Д о к а з а т е л ь с т в о. Отложим от произвольной точки O простран-ства векторы OA = a и OB = b . При этом, как мы знаем, соответству-
   













#
# 


#


# 













#
#
2
#    2

#
2



#

#
[



15






§ 1.5.
Скалярное произведение векторов и
его свойства
#  2
#  2







#


#
#

#
#





#  2
#




ющие координаты векторов
OA и
a
, а также OB и b
будут равны, а угол

[#[





#


1
#  2

2


#  2






2

,
#














получим

AOB = a

b . По теореме косинусов для треугольника OAB


и так#




|AB| = |OA| + |OB|


? 2 · |OA| · |OB| · cos AOB,










#







#













как

AB

=#OB
? OA =  b# ? a , имеем |# b ? a |# = (b ? a)
= |a |
+
+ | b |
? 2 · a · b , откуда a · b =


(|a |
+ | b |

? | b ? a | ). Но




2














#|a | =# q


,
| b | = q

,






#







x12 + y12 + z12


x22 + y22 + z22










































| b ? a
| = q(x2 ? x1)2 + (y2 ? y1)2 + (z2 ? z1)2,



поэтому#
































#   #
#



1


























a · b =

(x12 + y12 + z12 + x22 + y22 + z22 ? (x2 ? x1)2 ? (y2 ? y1)2 ? (z2 ? z1)
2).


2













#
#



#












Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим формулу (11).


С в о й с т в а  с к а л я р н о г о


п р о и з в е д е н и я  векторов в про-

странстве такие же, как и на плоскости: для любых векторов  a , b , c
и любого действительного числа k справедливы следующие соотношения:

1)
# a ·
# a > 0,#
причём#
a · a > 0 при a 6= 0;

2)
a ·
b# = #b
· a —#коммутативность#
(переместительный закон);

3)
(k# ·
a#) · b# = k#· (a# · b#) —# ассоциативность (сочетательный закон);

4)
(a + b) · c = a · c + b · c — дистрибутивность (распределительный
закон).
#



#

#





Свойства 1 и 2 непосредственно следуют из определения скалярного
произведения векторов, а свойства 3 и 4 легко могут быть# доказаны с
помощью#
теоремы 9. Докажем, например, свойство 4. Пусть a (x1; y1; z1),
b (x2; y2; z2), #c (x3; y3; z3). Тогда



#
(a + b) · c = (x1 + x2) · x3 + (y1 + y2) · y3 + (z1 + z2) · z3 = #    ##

#
#
#
· z3)
#
· c .
= (x1 · x3
+ y1 · y3 + z1 · z3) + (x2
· x3 + y2 · y3 + z2

= a · c + b

Свойство 4 доказано.

   В заключение этой главы приведём ещё два важных соотношения, ко-торые легко получить из теорем 8 и 9 и определения 9: если ненулевые векторы a и b заданы своими координатами a (x1; y1; z 1), b (x2; y2; z2),
то
#
#
? # x1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2 = 0,





(12)

a ? b



#

# 




+


+



#[

a · b# 



x1 · x2

y1
· y2

z1 · z2


cos(a
, b) =


=







.
(13)



# 
|

qx12 + y12 + z12 · qx22 + y22 + z22




| a | · | b








Г Л А В А	2

МЕТОДЫ  РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ



§ 2.1. Разложение вектора по трём данным некомпланарным векторам

Решение любой геометрической задачи на вычисление сводится, в сущ-ности, к нахождению величин двух типов: расстояний и углов. Если в про-странстве задан некоторый базис (в частности, прямоугольный), т. е. тройка некомпланарных векторов, то на основании теоремы 5 любой вектор про-странства можно разложить по векторам этого базиса, причём единствен-ным образом. Если известны длины векторов, образующих базис, углы между ними и разложение некоторого вектора по векторам этого базиса, то, используя свойства скалярного произведения, можно определить длину такого вектора и угол, образуемый им с любым другим вектором, разложе-ние которого по векторам этого базиса известно. Таким образом, векторы позволяют находить решения довольно широкого класса геометрических задач,  а  умение  определять  разложение
S вектора по базисным векторам является


a



важнейшим фактором их решения.

??











??

P

Для решения задач о разложении век-
A
c



тора
по
трём
данным
некомпланарным











??









b


D
векторам, разумеется, необходимо, поми-











мо теоремы 5, знание предшествующего ей
B


#
#
материала.


#   #
#   ## 

















Задача 1.
Основанием четырёхуголь-

K







C


#
#

#

#
###





ной пирамиды SABCD является паралле-







Рис. 14



лограмм ABCD. Точки P и K —  середины





рёбер SD и BC соответственно. Найдите
разложение векторов SD и PK по векторам SA = a , SB =  b , SC =  c .
##


#
#
Р е ш #е н и е# (см. #рис. 14)#. 1.
# SD =# SA # + AD, но AD = BC = SC ? SB,
поэтому SD = SA + SC ? SB = a ? b# + c . #
#
#

1
#
#   2. Так как K  —   середина
BC, PK  =  PS
+ SK, но PS  =
?

SD,




2

SK =  12 (SB + SC) (см. следствие 1 теоремы 3), поэтому PK = ?12 SD +






#
#


# 

# 
# 

# 

# 



# 

# 

# 

1


# 
1










1







1 # 



















17
§ 2.1.
Разложение вектора по трём данным некомпланарным векторам

=



a + b . #



# 

#





# 








?



#

# 




# 












2






1










+  2 (SB
+ SC)  =
2 (b
+  c ? (a
?
b
+  c ))  =
?2 a +  b + 0 · c  =










## 
# 
# 

















































= ?2 a# + b .

#
#
# 



О т в е т: SD = a ? b + c ; PK




# 
# 

коэф-


Заметим, что в разложении вектора PK по векторам
a
, b ,
c

фициент разложения при векторе
c
равен нулю, а это означает, в силу
теоремы 4, что векторы PK, a и b компланарны. Если заранее «увидеть»,
что PK k BT, PK#
=
BT, где T —  середина SA (отсюда PK = TB), то разло-
жение вектора PK

можно было бы найти проще.






S

Но векторный метод тем и хорош, что, даже не

















обладая развитым пространственным воображе-








нием, а лишь зная основные определения и тео-

A


































#





ремы, можно получить правильный ответ (пусть













#


#

#

























и не всегда самым оптимальным путём)!












Задача 2. Пусть M — точка пересечения ме-








диан треугольника ABC, S — произвольная точка








пространства. Найдите разложение вектора SM







C









































по векторам SA,

SB, SC.




















M
K


























Р е ш е н и е (см. рис. 15). Пусть K —  сере-


#

B
#













#







#

#

#    3


#

дина ребра BC. Так как
M
—  точка пересечения





Рис. 15

медиан треугольника ABC, точки A, M, K при-








#




#
#


#
#





#


#   2



#



#









надлежат одной прямой, причём, в силу теоремы

2






о точке пересечения медиан треугольника, AM =

AK. Согласно след-



1
#
1 #
1

#


1

#

#
#











ствию 1 теоремы 3,
SK
=

1
(SB

+ SC). Тогда SM =  SA + AM =  SA +








3

3
#
3





#   3

#


#
2


1


2

1


2




2
(SK ?







1










(SB + SC) =
+

AK = SA +





SA) =

SA
+

SK
=

SA
+

·



3

3




3


3


3


3

2

=

SA +

SB +




SC =



(SA + SB + SC).



































О т в е т: SM
=
1
(SA + SB + SC).































3





















































   Результат этой задачи нередко используется при решении многих дру-гих задач по стереометрии, поэтому в дальнейшем будем применять его в качестве известного факта.

# пересечения#

медиан# треугольника# ABC, но и для любой другой точки, лежащей в плос-кости этого треугольника.

Задача 3. Пусть точка M принадлежит плоскости треу.......................