Упорядоченные структуры и ориентации

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЛМЫЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Б.Б. ГОРОДОВИКОВА»
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, ФИЗИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
  КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА


«Допустить к защите»
Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н., доцент
Копейко Вячеслав Иванович
_____________________________
(подпись)
«_____»________________2018 г.

     
     
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(магистерская диссертация)
     
УПОРЯДОЧЕННЫЕ СТРУКТУРЫ И ОРИЕНТАЦИИ



Выполнил:
Обучающийся 2 курса очной формы обучения, направления 01.04.01 «Математика»
Майорова Василий Бадмаевич
______________________________
(подпись обучающегося)

Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент
Копейко Вячеслав Иванович
_____________________________
(подпись руководителя)


г. Элиста
2018

     
СОДЕРЖАНИЕ
     
Введение	3
Глава 1. Упорядоченные и вещественные поля	6
Упорядоченные поля	6
Вещественные поля	8
Глава 2. Положительные операторы и полярное разложение в линейной алгебре	9
Основные понятия	9
Глава 3. Положительные операторы и полярное разложение в функциональном анализе	10
Основные понятия	10
Глава 4. Ориентации	11
Основные понятия	11
Первое упоминание ориентации	11
Глоссарий	12
Список литературы	16




     

Введение

     Немного слов о происхождении слова – математика. Данное слово «матема?тика» происходит от др. греч. «м?????» и означает «изучение», «знание», «наука», «урок». В современном значении термин др. греч. «??????????», «математика» уже можно найти в трудах Аристотеля (IV век до н. э.). В русский язык это слово пришло либо через лат. «мathematica», либо через польск. «matematyka».
     Матема?тика – наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций измерения, подсчета, описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации реальных свойств или других математических объектов и записей их свойств на формальном языке.
     Идеализированные свойства исследуемых в математике объектов формулируются как аксиомы или перечисляются в определении соответствующих им математических объектов. После чего, используя правила логического вывода, из перечисленных свойств выводятся новые свойства (теоремы, следствия и т.д.). Следовательно, из этой теории можно образовать математическую модель исследуемого объекта. Таким образом, можно сказать, что математика первоначально исходящая из пространственных и количественных соотношений получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики
     Группа французских математиков, под псевдонимом Николя Бурбаки, в середине XX века представили математику как иерархическую структуру; которая идет от простого к сложному, от общего к частному. Этот коллектив математиков поставил своей целью задать все существовавшие математические теории как некоторые комбинации абстрактных структур, так как исходные понятия почти всех математических теорий можно выразить в терминах абстрактной теории множеств, а сами эти теории рассматривались как аксиоматически построенные системы. Другими словами, построить аксиоматическую теорию данной структуры означает, вывод логических следствий из аксиом данной структуры, предварительно отказавшись от каких-либо иных предположений относительно рассматриваемых элементов, в частности, от гипотез относящихся к их «природе». Отвлечением от конкретного содержания предметов изучения и их свойств и обеспечивается широкое применение математических методов в других науках. Поэтому понятие структуры играет первостепенную роль в математике.
     В своей статье 1948 г. «Архитектура математики» Николя Бурбаки назвали математику учением о математических структурах. В этой статье они выделили в математике три основные (порождающие) математические структуры (с фр. les structures-meres): 
* Алгебраические структуры;
* Структуры порядка;
* Топологические структуры.
     Структуры порядка играют важную роль в современной математике. Основополагающим понятием структур порядка является отношение порядка, т.е. бинарное отношение на множестве, удовлетворяющее свойствам: рефлексивности, транзитивности и антисимметричности. Основополагающим объектом в структурах порядка служит упорядоченное множество, определенное как множество с заданным на нем отношением порядка. То есть, структуры порядка взаимосвязаны с понятием бинарного отношения.
     Целью магистерской диссертации является рассмотрение ряда примеров структур порядка и ориентаций, их применений в алгебре и анализе.
     Магистерская диссертация разбивается на четыре главы. Первая глава – Упорядоченные и вещественные поля. Вторая глава – Положительные операторы и полярное разложение в линейной алгебре. Третья глава – Положительные операторы и полярное разложение в функциональном анализе. Четвертая глава – Ориентации.
     

     
Глава 1. Упорядоченные и вещественные поля
     
Упорядоченные поля
     
     Пусть A – поле. .
     Определение 1. Упорядочением поля A называется такое подмножество , удовлетворяющее аксиомам: 
     1) Для  такого, что либо , либо , либо , при этом из трех случаев выполняется только один, т.е. являются взаимно исключающими друг к другу. Иначе говоря , где . 
     2) Если элементы , то их сумма и произведение элементов также принадлежат P: .
     И говорят, что поле A упорядочено подмножеством P, которое и будем рассматривать. P – множество положительных элементов. 
     Пусть  и . По аксиоме 2) имеем , тогда можно сделать вывод, что в поле A имеет место характеристика 0. . 
     Рассмотрим . . Элемент a называется отрицательным, если , . Выведем соотношения для неравенств: 
     ,
     ,
     .
     Замечание.  и .
     Сумма квадратов , так как ,  и .
     Утверждение 1. Произведение сумм квадратов в поле X является суммой квадратов.
     Утверждение 2. Если  - суммы квадратов и , то  - сумма квадратов. Т.к. .
     A упорядоченное поле посредством P,  - упорядочение подполя F, являющейся индуцированным упорядочением.
     Определение 2. R – упорядоченное кольцо с , тогда упорядочение кольца можно продолжить на поле частных: дробь положительна, если 
     Пример. Зададим упорядочение в кольце многочленов  над полем вещественных чисел. Многочлен  положителен, если
     . 
     , т.е. t – бесконечно большое по отношению к кольцу R. 
     Замечание. Бесконечно большие (или бесконечно малые) элементы в поле с упорядочением – характерная черта различия от подполя поля вещественных чисел .
     A – упорядоченное поле,  – индуцировано упорядочено. Тогда .  – это бесконечно большой элемент над F.  – это бесконечно малый элемент над F. Элемент  - бесконечно большой, только в том случае, если  - бесконечно малый. 
     A архимедово над F, если A нет бесконечно большой над F. , поле  - максимальное архимедовым полем над F. , F - максимально архимедово подполе в поле A, если оно максимально архимедово поле над собой в A.
     Утверждение 3. Кольцо нормирования  – это кольцо , где  и ,  - множество элементов, которые не являются бесконечно большими над F.
     Утверждение 4. Идеал  из бесконечно малых элементов над F. Следовательно  - единственный максимальный идеал в .
     Определение 3.  – кольцо нормирования, которое определенно упорядочением расширения .
     Предложение 1. Если , A – упорядочено, и имеют место утверждение 4 и определение 3, то  - вещественное поле. 
     Доказательство. Если предложение 1 неверно, то имеет место равенство: , что невозможно, так как , a - бесконечно малый элемент.
     
Вещественные поля
     
     
     
     
Глава 2. Положительные операторы и полярное разложение в линейной алгебре
     
Основные понятия
     
     
     
     
Глава 3. Положительные операторы и полярное разложение в функциональном анализе
     
Основные понятия
     
     
     
     
Глава 4. Ориентации 
     
Основные понятия
     
Первое упоминание ориентации
     Первое упоминание ориентации можно найти в векторном пространстве. 
     …
     
     Добавить из:
     Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия, том 2, Геометрические и топология многообразий, 1984, параграфы 1,2 и 4 в главе 1 "Примеры многообразий"
     
     
     
     
Глоссарий
     
     Алгебраическая (бинарная) операция — эта такая функция f, определенная в М (где M – некоторое множество произвольной природы), которая каждой упорядоченной паре элементов  ставится в соответствие некоторый определенный элемент , такой, что . В качестве отображения функция записывается в виде . 
     На множестве  вещественных (действительных) чисел аддитивная форма записи отображения называется сложением или суммой и обозначается «+» н/р «a+b»; мультипликативная форма записи отображения – умножением или произведением и обозначается «» н/р «ab» или «ab».
     В мультипликативной форме нейтральный элемент е, такой, что ex=x=xe , называется единичным элементом. 
     В аддитивной форме единичный элемент е, такой, что e+x=x=x+e, называется нулевым элементом. Элемент e единственен. Докажем единственность, если  – другой единичный элемент, то мы имеем: . Аналогично для нулевого. 
     Единичный элемент е обозначается как 1. 
     Нулевой элемент е обозначается как 0.
     В мультипликативной форме симметричный к элементу a элемент b является обратным к a, если . Докажем единственность, если  – другой обратный элемент к a, то мы имеем:  . Аналогично для противоположного. 
     Обратный элемент b обозначается как .
     В аддитивной форме симметричный к элементу a элемент b является противоположным к a, если .
     Противоположный элемент b обозначается как –a.
     Абелева (коммутативная) группа — группа, в которой алгебраическая операция является коммутативной:   .
     Алгебраическая структура – это множество G с заданным на нем набором алгебраических операций и отношений, удовлетворяющих некоторой системе аксиом.
     Группа — непустое множество G замкнутое относительно заданной на нем алгебраической операцией «*» :, где выполняются следующие аксиомы:
1. ассоциативность: ;
2. имеется единичный и единственный элемент 1, такой, что:
;
3. имеется обратный и единственный элемент , такой, что: 
.
     
     Кольцо – это множество R, на котором заданы две алгебраические операции: «+» и «» (сложение и умножение), со следующими аксиомами, где :
1. Относительно сложения R: абелева группа;
2. Существование нулевого и единственного элемента 0 
     относительно сложения: ;
3. Существование противоположного элемента –a относительно 
  сложения, такой, что: ;
4. Ассоциативность умножения: ;
5. Дистрибутивность умножения относительно сложения: 
     .
     
     Коммутативное кольцо – это кольцо R, где xy=yx .
     Отношение частичного порядка на множестве M – это отношение порядка «» (предшествует или равно) на М, определяемое некоторым подмножеством , удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. Рефлективность: ;
2. Транзитивность: если  и , то  ;
3. Антисимметричность: если  и , то  .
     
     Частично упорядоченное множество – это множество М, на котором задано отношение частичного порядка. 
     В частично упорядоченном множестве М существуют несравнимые элементы, т.е. нельзя сказать, что  либо , либо .
     Линейно упорядоченное множество – это частично упорядоченное множество М, где любые два элемента сравнимы (линейность выполняется).
     Поле – это коммутативное кольцо R с дополнительными аксиомами, где  и :
1. Ассоциативность сложения: ;
2. Относительно умножения F: абелева группа;
3. Существование единичного и единственного элемента 1 
  относительно умножения: ;
4. Существование обратного элемента  для ненулевых 
  элементов: ;
     
     Частично упорядоченная группа – группа G, на которой задано отношение частичного порядка , .
     Упорядоченная группа – частично упорядоченная группа G, для которой выполняется линейность: все элементы G сравнимы между собой, т.е. либо , либо .
     Частично упорядоченное кольцо – кольцо R (не всегда ассоциативное), являющееся частично упорядоченной группой по сложению, в котором  из неравенств  вытекают неравенства .
     Упорядоченное кольцо – частично упорядоченное кольцо R, для которой выполняется линейность: все элементы F сравнимы между собой, то есть либо , либо .
     Упорядоченное поле – поле F, на котором задано отношение частичного порядка и выполняется линейность: все элементы G сравнимы между собой, т.е. либо , либо .
     Архимедовски упорядоченное поле – упорядоченное поле F, в котором для любых положительных элементов а и b поля существует такое натуральное число n, что .
     
     
     
     
Список литературы
     
1. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968, 564 с. (гл.11). 
2. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Наука, 2005. 
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру.  ч.2. – М. ФИЗМАТЛИТ, 2000, 272с.
4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 2002. 
5. Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975.
6. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984.
7. Дубровин Б.А. Новиков С.П. Фоменко А.Т. Современная геометрия. т.2 – М.: Наука, 1979.
8. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. – М.: Мир, 1972, 160 с. 
9. Зорич В.А. Математический анализ, т.1,2. – М.: Наука,1984, 640 с. 
10. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. – М.: Мир, 1967.
11. Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. ч.2 – М.: Наука, 1965.
12. Бурбаки Н, Архитектура математики. (Перевод с французского Д.Н. Ленского) – М.: Матем. просвещение, 1960, выпуск 5, 99–112.
13. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел – М.: Высшая школа, 1979.
14.  Кириллов А. А. Элементы теории представлений – М.: Наука, 1978.
15. Вечтомов Е.М. Основные математические структуры. – Киров, ВятГГУ, 2013.





15


.......................